الاقترانات المتزايدة والمتناقصة

صعود المنحنى ونزوله: متى يكون الاقتران متزايداً؟

أراد أحد المغامرين السير بسيارته على شارع فوق سلسلة الجبال تلاحظ أن السيارة أثناء سيرها بين (أ)، (ب) تكون في حالة صعود.

• متزايد في $[أ، ب]$: عندما $س_{٢} > س_{١}$ فإن $ق(س_{٢}) > ق(س_{١})$
• متناقص في $[أ، ب]$: عندما $س_{٢} > س_{١}$ فإن $ق(س_{٢}) < ق(س_{١})$
• ثابت في $[أ، ب]$: عندما $س_{٢} > س_{١}$ فإن $ق(س_{٢}) = ق(س_{١})$

المشتقة الأولى تحدد: صعود أم نزول؟

الشكل أدناه يمثل منحنيات الاقترانات

ما العلاقة بين فترات التزايد والتناقص وإشارة المشتقة الأولى للاقتران؟

• متزايد في $[أ، ب]$ إذا كانت $ق'(س) > صفر$، $\forall$ س $\in$ $]أ، ب[$
• متناقص في $[أ، ب]$ إذا كانت $ق'(س) < صفر$، $\forall$ س $\in$ $]أ، ب[$
• ثابت في $[أ، ب]$ إذا كانت $ق'(س) = صفر$، $\forall$ س $\in$ $]أ، ب[$

أمثلة: أصفار المشتقة وإشارتها تعطي الفترات

اقترانات مثلثية ومتشعبة وقيمة مطلقة

القيمتان مختلفتان، فالاقتران غير متصل عند هذه النقطة؛ الصحيح تطبيق الاختبار على كل فترة وحدها.

حدد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س)$ في الحالات الآتية:

أ. $ق(س) = ٣س^{٢} - س^{٣}$، $س \in [-٢، ٥]$

ب. $ق(س) = س + جا^{٢}س$، $س \in [٠، \pi]$

ج. $ق(س) = \sqrt{س^{٢} - ٢س + ١}$، $س \in ح$

إذا كان $ق(س) = ٢س - لو_هـ(س + ١)$، $س > -١$، فأثبت أن منحنى $ق(س)$ متزايد في $ح^{+}$.

جد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س) = \begin{cases} س^{٣} & ٠ \leq س < ١ \\ س^{٢} - ٢ & ١ \leq س \leq ٢ \end{cases}$، في الفترة $[٠، ٢]$

إذا كان $ق(س)$، $ه(س)$ قابلين للاشتقاق على $ح$، وكان $ك(س) = ق^{٢}(س) + ه^{٢}(س) + س^{٢}$، فحدد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ك(س)$، علماً بأن $ق'(س) = ه(س)$، $ه'(س) = -ق(س)$.

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود متزايداً على $ح$، وكان $ك(س) = ق(س^{٢} - ٤س)$، فحدد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ك(س)$.

إذا كان $ق(س)$، $ه(س)$ كثيري حدود معرفين في الفترة $[٠، ٤]$، بحيث إن منحنى $ق(س)$ متناقص في مجاله، ويقع في الربع الرابع، ومنحنى $ه(س)$ متزايد في مجاله، ويقع في الربع الأول أثبت أن منحنى الاقتران $ق(س)$ × $ه(س)$ متناقص في الفترة $[٠، ٤]$.

إذا كان $ق(س) = جاس + جتاس$، $س \in [٠، \pi/٢]$، فجد مجالات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق'(س)$.