الأعداد المركبة

عدد جديد لمعادلات بلا حل

وقد لاحظت وجود قصور في نظام الأعداد الحقيقية، حيث إننا لا نستطيع إيجاد حلول للمعادلات كافة باستخدام هذا النظام

• وخاصة المعادلة التربيعية التي مميزها سالب
• لأن الجذر التربيعي للعدد السالب غير معرف في هذا النظام
• في القرن السادس عشر قام العالم كاردانو ⁦(Gerolamo Cardano)⁩ بتعريف نظام جديد
• فقام بتعريف عدد جديد هو $ت = \sqrt{-١}$
• ثم قام بتعريف نظام جديد للأعداد أسماه الأعداد المركبة (ك)

كيف نقرأ العدد المركب جزءًا جزءًا؟

جزء حقيقي وجزء تخيلي

هل يصح ضرب الجذور؟

أوجد كل من أشرف وخالد قيمة المقدار $\sqrt{-٤} \times \sqrt{-٩}$ $= \sqrt{-٤ \times -٩}$ $= \sqrt{٣٦}$ $= ٦$ $= \sqrt{٤ \times -١} \times \sqrt{٩ \times -١}$ $= ٢ت \times ٣ت = ٦ت^٢ = -٦$ أيهما كانت إجابته صحيحة؟ ولماذا؟

إذا كان س ، ص $\in$ ح فإن $\sqrt{س} \times \sqrt{ص} \ne \sqrt{س \times ص}$ دائماً. ولماذا؟

قوى ت تتكرر كل أربع

• تعلم من التعريف أن $ت = \sqrt{-١}$ ومنها $ت^٢ = ت \times ت = \sqrt{-١} \times \sqrt{-١} = (\sqrt{-١})^٢ = -١$
• $(ت)^٣ = -ت$ ، $ت^٤ = ١$ (لماذا؟)

هل نجمع القوى بطريقة أخرى؟

تمرّن على الصورة وقوى ت

اكتب ما يلي على الصورة $س + ص ت$:

أ. $٢ + \sqrt{-٢}$ ب. $\sqrt{-٣٢} + \sqrt{-٢}$ جـ. $\sqrt{-٨} \times \sqrt{-٢}$

حدد الجزء الحقيقي، والجزء التخيلي لكل مما يأتي:

أ. $\frac{٢}{٥}ت - ٣$ ب. $\sqrt{-٩}$ جـ. $١ - \sqrt{-١}$ د. $\sqrt{٩ \times -٤}$ هـ. $-٢ت$ و. $\frac{١}{٣}$

بيّن أن: $(١ + ت + ت^٢)^٣ (١ - ت + ت^٢)^٣ = ١$

اكتب كلاً مما يأتي بأبسط صورة:

أ. $ت^{٤٣}$ ب. $\frac{١}{ت^{٦٥}}$ جـ. $ت^{٢٧} + \frac{١}{ت^{٢٧}}$

أثبت أن: $\frac{١ + ٢ت^٢ + ت^٣ + ٢ت}{ت^٣ + ت^٤} = -١$