طرق التكامل

ثلاث طرق لتكاملات لا تكفيها القواعد

يصادفنا في كثير من الأحيان تكاملات لا يمكن إيجادها باستخدام قواعد التكامل غير المحدود، وسنتعرف في هذا الدرس على ثلاث طرق لإيجاد التكامل غير المحدود، وهي:

• ١ التكامل بالتعويض.
• ٢ التكامل بالأجزاء.
• ٣ التكامل بالكسور الجزئية.

التعويض: نسمّي جزءًا من التكامل ع

• تعلمت في الفصل الأول بأن $\frac{د}{دس} (ق(س))^ن = ن (ق(س))^{ن-١} ق'(س)$
• أي أن $(ق(س))^ن$ هو اقتران أصلي للاقتران $ن (ق(س))^{ن-١} ق'(س)$

1. نفرض: اختر جزءًا من التكامل واجعله ع.
2. نشتق: جد دع، ثم عبّر عن دس بدلالة دع.
3. نعوّض: عوّض في التكامل واختصر حتى يبقى ع وحده.
4. نكامل: كامل بالنسبة إلى ع بالقواعد المعروفة.
5. نعود: أعد س مكان ع في الناتج.

وماذا لو كان داخل القوس مقدار خطي؟

$ق(س) = ٢ س (٢ + س^٢)^٢$، وفيه: تحقق أن $م(س) = \frac{١}{٣} (٢ + س^٢)^٣$ اقتران أصلي للاقتران $ق(س)$.

ليكن $هـ(س) = ٢ + س^٢$ فإن $هـ'(س) =$

العلاقة بين $٢س$ ، $٢ + س^٢$ هي

هل $\int س \sqrt{س} \, دس = \int س \, دس \cdot \int \sqrt{س} \, دس$؟ ماذا تلاحظ؟

لإيجاد $\int قا^٢ (٣س + ٢) دس$ نفرض $ع = ٣س + ٢$ ، فيكون $دع = ٣ دس$ ومنها $دس =$ فيصبح $\int قا^٢ (٣س + ٢) دس = \frac{١}{٣} \int قا^٢ ع دع =$

بعد التعويض: ما بقي من س نختصره

فماذا نفعل إذا بقيت قوة من س بعد التعويض؟

عوّض قيمة $ع$ واكتب الناتج بدلالة $س$

الجذر والمتطابقة المثلثية: نهيّئ التكامل قبل التعويض

وماذا لو كان الاقتران قوة مثلثية؟

الكسر الذي بسطه مشتقة مقامه

١ جد التكاملات الآتية:

أ $\int \frac{٤}{(س + ٢)^٥} \, دس$

ب $\int (١ - س) جا(س^٢ - ٢س) \, دس$

ج $\int \frac{\text{لو}_هـ س}{س} \, دس$

د $\int (س^٢ + ٢) \sqrt{س + ١} \, دس$

هـ $\int (س + ٢)^٢ (س - ١)^٦ \, دس$

و $\int جتا^٤ س \, دس$

ز $\int \frac{١}{١ + جا س} \, دس$

ح $\int \frac{هـ^{٢س}}{هـ^س + هـ^{٢س}} \, دس$

٢ جد التكاملات الآتية:

أ $\int \sqrt{\frac{س + ١}{س^٥}} \, دس$

ب $\int \frac{١}{س^٢} جا \frac{١}{س} \, دس$

ج $\int (جا س + قتا س)^٢ \, دس$

د $\int \frac{(س + ٢)^٥}{س^٧} \, دس$

هـ $\int س^٢ (س^٧ + س^٣)^{\frac{١}{٣}} \, دس$

و $\int ظا^٣ س \, دس$

الأجزاء: نشتق ق ونكامل دع

• $\frac{د}{دس} (ق \times ع) = ق \times \frac{دع}{دس} + ع \times \frac{دق}{دس}$ حيث $ق$ ، $ع$ اقترانات قابلة للاشتقاق.
• $ق \times ع = \int ق دع + \int ع دق$
• تسمى هذه النتيجة قاعدة التكامل بالأجزاء، وتستخدم لإيجاد تكامل بعض الاقترانات التي تكون على صورة حاصل ضرب اقترانين ليس أحدهما مشتقةً للآخر.

1. نفرض: سمِّ أحد الاقترانين ق، وسمِّ الباقي مع دس بالرمز دع.
2. نحسب: اشتق ق لتجد دق، وكامل دع لتجد ع.
3. نطبّق: عوّض في قاعدة التكامل بالأجزاء.
4. نكمل: كامل ما بقي من تكامل ع دق وأضف الثابت.

جد $\int س^٢ جا س \, دس$ نفرض أن: $ق = س^٢$ ، $دع = جا س \, دس$ $دق = ٢ س دس$ ، $ع = - جتا س$ إذن $\int س^٢ جا س دس = - س^٢ جتا س + ٢ \int س جتا س دس$

جد $\int هـ^{\sqrt{س}} \, دس$ بفرض $\sqrt{س} = ص$ فيكون $دص = \frac{١}{٢ \sqrt{س}} \, دس$ ومنها $٢ ص \, دص = دس$ إذن $\int هـ^{\sqrt{س}} \, دس = ٢ \int ص هـ^ص \, دص$

الأجزاء مع التعويض، ومع تكرار الأجزاء

وماذا لو عاد التكامل نفسه بعد الأجزاء؟

أوجد $\int \frac{س}{\sqrt{س + ٢}} \, دس$ من المثال السابق باستخدام التكامل بالتعويض.

جد جتا(لو_هـ س) دس (افرض ص = لو_هـ س واستفد من المثال السابق في إكمال الحل).

١ جد كلاً من التكاملات الآتية:

أ س لو_هـ س دس

ب س قا^٢ س دس

ج لو_هـ (س + ٢)^٣ دس

د س جا ٢س دس

هـ س^٣ هـس^٢ + ١ دس

و جا √(س + ١) دس

ز (٢ س هـ^س)/((س + ١)^٢) دس

ح هـ^س جا س جتا س دس

ط هـ^س (قتا س - قتا س ظتا س) دس

ي (١)/(س^٣) جتا((١)/(س)) دس

٢ أثبت أن: س^ن لو_هـ س دس = سن+١ن+١ (لو_هـ س - (١)/(ن+١)) + جـ ، ن -١ ، س > ٠

الكسور الجزئية: نفكّك الكسر إلى كسور مقاماتها خطية

وهل نستفيد من نتائج النشاط في المثال التالي؟

هل يمكنك إيجاد قيم $أ$ ، $ب$ ، $جـ$ بطرق أخرى؟

(اكتب الناتج بصورة أخرى)

حين تزيد درجة البسط: نقسم قسمة مطولة أولًا

• ويراعى في ذلك أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام،
• فإذا كانت درجة البسط ≥ درجة المقام نستخدم القسمة المطولة.

نمهّد بالتعويض ثم نفكّك إلى كسور جزئية

وماذا لو كان المقام يحوي قوى هـ؟

√(س)س - ٩ دس = ٢ √(س) - ٣ لو_هـ |√(س) + ٣| + ٣ لو_هـ |√(س) - ٣| + جـ (تحقق من ذلك)

الاقترانات المثلثية: التعويض ثم الكسور الجزئية

وماذا لو كان في المقام مقدار مثلثي؟

جد قا س دس وباستخدام التكامل بالتعويض بفرض ص = جا س يصبح التكامل على الصورة (١)/(١ - ص^٢) دص = (أكمل الحل)

أكمل بكتابة الناتج بدلالة س

أ (س + ٢)/(س^٢ - ٢س - ٣) دس

ب (س^٢ + ٢)/(س^٢ + س - ٦) دس

ج √(س)س - √(س) - ٢ دس

د (س + ٢)/((س^٢ - س)(س + ١)) دس

هـ قتا س دس

و ١س - س (لو_هـ س)^٢ دس

أ (- س + ٧)/(س^٢ + س - ٢) دس

ب (جا س)/(١٦ - جتا^٢ س) دس

ج (قتا^٢ س)/(٢ - قتا^٢ س) دس

د (س^٢)/(س^٦ + س^٣) دس

مراجعة التكامل غير المحدود بطرقه الثلاث

١ اختر رمز الإجابة الصحيحة:

1. إذا كان م(س) ، $هـ(س)$ اقترانين أصليين مختلفين للاقتران $ق(س)$، فماذا يمثل (م(س) - هـ(س)) دس؟

أ. اقتراناً ثابتاً ب. اقتراناً تربيعياً ج. اقتراناً خطياً د. صفراً

2. إذا كان ق(س) = (٣س^٢ - ٢) دس، وكان ق(٢) = ٩، فما قيمة ق(-٢)؟

أ. -١ ب. -٩ ج. ٤ د. ١

إذا كان ٢ س لو_هـ س دس = س^٢ لو_هـ س - ع دق، فما قيمة ع دق؟

أ. لو_هـ س دس ب. س^٢ دس ج. س دس د. س لو_هـ س دس

4. ما قيمة قتا^٤ س ظتا س دس؟

أ. -(١)/(٥) قتا^٥ س + جـ ب. -(١)/(٤) قتا^٤ س + جـ ج. -(١)/(٣) قتا^٣ س + جـ د. (١)/(٣) قتا^٣ س + جـ

٢ أثبت أن: الاقتران م(س) = √(١ - س^٢) هو اقتران أصلي للاقتران ق(س) = -س√(١ - س^٢)

٣ إذا كانت ق''(س) = س^٢ + ٣ جا س ، ق'(٠) = ٣ ، ق(٠) = ٢ ، فجد $ق(س)$.

٤ إذا كانت سرعة جسيم $ع$ بعد ن دقيقة تعطى بالقاعدة: ع = ٤ن + لو_هـ (ن + ١) جد إزاحة الجسيم بعد ٣ دقائق، علماً بأنه قطع مسافة ٨ أمتار بعد دقيقة واحدة.

٥ جد كلاً من التكاملات الآتية:

١ س √(س^٢ - ٣) دس

٢ ١س١٠ + س دس

٣ قا^٢ √(س) دس

٤ قا(٣س + ١) ظا(٣س + ١) دس

٥ (س^٢ + ١) جتا س دس

٦ لو_هـ (س^٢ - ١) دس

٧ (س^٢ + ١)/(س^٣ + س) دس

٨ (قا^٤ س)/(١ - ظا^٢ س) دس

٩ (جتا^٤ س - جا^٤ س) دس

١٠ (قتا س + ظتا س)^٨ قتا س دس

١١ (س^٨ - ٦ س)^٦ دس

٦ يتحرك جسيم حسب العلاقة ع = أ √(ف) عددياً، حيث $ع$ السرعة (م / ث)، ف المسافة (م) فإذا كان ف(٢) = ٩ أمتار ، ف(٤) = ١٦ متراً، فما قيمة الثابت $أ$؟

٧ إذا كانت س ق'(س) + ق(س) = جتا س ، فجد قاعدة الاقتران $ق(س)$ علماً بأن ق(π) = ٠.