قواعد التكامل غير المحدود

من المعدل إلى الكمية

تكثر الآبار الجوفية في مَسافِر بني نعيم شرق الخليل، فإذا ضُخّت المياه من بئرين في التوقيت نفسه، الأول بمعدل ($٢٠$ ن) م$^٣$ / ساعة، والثاني بمعدل ($٣٠$ ن) م$^٣$ / ساعة، حيث ن تمثل الزمن بالساعة فإن:

كمية المياه التي تضخ من البئر الأول في أي زمن ن تساوي $١٠$ ن$^٢$ (لماذا؟)

العلاقة التي تحدد كمية المياه التي يتم ضخها من البئر الثاني هي $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

معدل ضخ الماء من البئرين معاً = $٥٠$ ن (لماذا؟)

العلاقة التي تحدد كمية المياه التي يتم ضخها من البئرين معاً هي: $\dots\dots\dots\dots\dots$

ماذا تلاحظ؟

• يتطلب إيجاد الاقتران الأصلي من خلال عمليات الاشتقاق كثيراً من الوقت والجهد، لذلك سنستخدم قواعد

عشر قواعد تغنيك عن التجريب

أكمل الجدول الآتي حيث أ $\in$ ح ، ثم أجب عن الأسئلة التي تليه:

• لاحظ أن المقدارين ق(س) ، $\int \bar{ق}(س) \, د س$ ، في كل حالة يختلفان بمقدار ثابت.

ما العلاقة بين نواتج العمود الثاني، ونواتج العمود الثالث؟

بالاعتماد على النتائج التي توصلت إليها، وأن التكامل عملية عكسية للتفاضل، يمكنك التحقق من صحة القواعد الآتية:

المعامل يخرج والجمع يتوزع

إذا كان ق(س) ، هـ(س) اقترانين قابلين للتكامل فإن:

افتح القوس قبل أن تكامل

نبسّط الكسر ونحوله إلى قوى للمتغير قبل أن نكامل.

الشرط المعطى يحدّد الثابت

تدرّب بنفسك

جد التكاملات الآتية:

أ. $\int ٨ \, د س$

ب. $\int (٧ س^٢ - ٤ س + \frac{٣}{س^٤}) \, د س$

جـ. $\int (٣ + س) \sqrt{س} \, د س$

د. $\int (٥ س + قا س ظا س) \, د س$

هـ. $\int \frac{س - ١}{\sqrt[٣]{س} - ١} \, د س$

و. $\int \frac{٢ س^٣ + ٥ س^٢ - ١}{س^٢} \, د س$

ز. $\int \frac{١}{جتا^٢ س} \, د س$

ح. $\int (٥ هـ^س + \frac{٢}{س}) \, د س$

إذا كان $\bar{ق}(س) + هـ^س = جتا س$ ، جد ق(س) حيث ق($٠$) = -$١$

إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً على مجاله وكان $\int ق(س) \, د س = جا س - جتا س + ٢$ أثبت أن: ق($\frac{\pi}{٢}$) - $\bar{ق}(\frac{\pi}{٢}) = ٢$

إذا كان $\int (\bar{ق}(س) + س^٢) \, د س = ٢ س^٣ + جـ س^٢ + ٢$ ، وكان $\bar{ق}(١) = ٤$ ، ق($٢$) = $٦$ ، فجد ق(-$١$)