تطبيقات عملية على القيم القصوى

• احل مسائل منوعة على نظريتي رول والمتوسطة
• احدد مجالات التزايد والتناقص للاقترانات
• احدد مجالات التقعر للاقترانات
• احل مشكلات وتطبيقات حياتية على المشتقات

من الحديقة إلى المتنزه: متى تكون المساحة أكبر؟

أحمد مزارع فلسطيني يسكن مدينة يافا، ويملك أراضٍ واسعة من حقول البرتقال، أراد في أحد الأيام أن يختبر ذكاء أبنائه الثلاثة

وكيف نحوّل مسألة المساحة إلى معادلة نشتقها؟

• الفكرة: مُتنزّه على شكل مستطيل، رأسان منه على شارعين متقاطعين والرأسان الآخران على شارع الشهداء.
• شارع الأمة: $ص = هـ(س) = ٢٠س$
• شارع الكرامة: $ص = ق(س) = ٤٢ - س$
• شارع الشهداء: أفقي، معادلته $ص = ٠$

• نفرض أن طول المتنزه $(س)$
• فيكون عرضه هو $هـ(ع) = ٢٠ع$
• وتكون مساحة المتنزه = الطول × العرض
• وتصبح المساحة $م(س) = \frac{٢٠}{٢١} س (٤٢ - س)$

1. نفرض: نسمّي الكميات المجهولة بحروف، ونحدّد الكمية المطلوب جعلها أكبر أو أقل ما يمكن.
2. نكتب الاقتران: نعبّر عن تلك الكمية بمتغير واحد، مستعملين شرط المسألة لحذف المتغير الآخر.
3. نشتق: نشتق الاقتران، ونساوي المشتقة الأولى بالصفر، ثم نحل المعادلة.
4. نتحقق: نتحقق بالمشتقة الثانية أو بإشارة المشتقة الأولى أن القيمة صغرى أو عظمى.
5. نجيب: نكتب الجواب بما طلبته المسألة من أبعاد أو مساحة أو مسافة أو محيط.

عددان مجموعهما ثابت: متى يكون ضربهما أكبر؟

صندوق هدايا بأقل تكلفة: ما أبعاده؟

أقصر مسافة بين نقطة ومنحنى

سلك واحد، مربع ودائرة: متى تقل المساحة؟

أقل محيط لمستطيل معلوم المساحة

جرّب بنفسك: مسائل القيم القصوى

يريد رجل عمل حديقة مستطيلة الشكل في أرضه، وذلك بإحاطتها بسياج، فإذا كان لديه $٨٠$ متراً من الأسلاك، فما مساحة أكبر حديقة يمكن للرجل إحاطتها؟

مقلمة على شكل أسطوانة دائرية قائمة مفتوحة من أعلى سعتها $١٩٢\pi$ سم$^{٣}$ فإذا علمت أن سعر كل $١$ سم$^{٢}$ من البلاستيك المستخدم لصنع القاعدة، يعادل ثلاثة أمثال سعر $١$ سم$^{٢}$ من البلاستيك المستخدم في صنع الجوانب، جد أبعاد المقلمة ذات الأقل تكلفة.

طريق منحنى معادلته في المستوى الديكارتي هي $ص = ق(س) = \sqrt{٢س - ١}$، النقطة $م(٣، ٠)$ تمثل موقع مستشفى، يراد شق شارع فرعي مستقيم من النقطة (و) إلى موقع المستشفى(م)، عيّن إحداثيات النقطة (و) ليكون طول الشارع (و م) أقل ما يمكن. (انظر الشكل المجاور).

جسم يسير في خط مستقيم بحيث إن بعده ف بالأمتار بعد ن ثانية يعطى بالعلاقة $ف = أ جتا(\frac{\pi}{٤} ن) + ب جا(\frac{\pi}{٤} ن)$ فإذا كانت السرعة المتوسطة للجسم في الفترة $[٠، ٢]$ هي $١٠$ م/ث، وكانت سرعة الجسم أقل ما يمكن عند $ن = ١$ ث. احسب الثابتين أ، ب.

في الساعة الثانية عشرة ظهراً كانت الباخرة ب على بعد $٣٠$ كم شمال الباخرة أ وتسير غرباً بسرعة $١٠$ كم / الساعة، فإذا كانت أ تسير شمالاً بسرعة $٢٠$ كم في الساعة، فمتى تكون المسافة بين الباخرتين أقل ما يمكن؟

جد حجم أكبر أسطوانة دائرية قائمة يمكن وضعها داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $١٢$ سم، ونصف قطر قاعدته $٤$ سم.

شبه منحرف فيه $٣$ أضلاع متساوية في الطول وطول كل منها $٦$ سم، جد أكبر مساحة ممكنة لشبه المنحرف.

أ ب ج د مستطيل عرضه أ ب = $٨$ سم وطوله ب جـ = $١٠$ سم، م نقطة على الضلع أ ب بحيث أ م = س سم، ن نقطة على الضلع ب جـ بحيث ن جـ = $\frac{٣}{٢}$ س سم، جد قيمة س بحيث تكون مساحة المثلث م ن جـ أكبر ما يمكن.

مراجعة الوحدة: أسئلة بخيارات ومسائل

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س^{٢} - س ، & ١ \ge س \ge ٠ \\ س - ١ ، & ٣ \ge س > ١ \end{cases}$، فما مجموعة قيم س التي يكون عندها للاقتران $ق(س)$ نقطة حرجة في الفترة $[٠، ٣]$؟

أ. $\{٠، ١، ٣\}$ ب. $\{٠، ٣\}$ ج. $\{٠، \frac{١}{٢}، ٣\}$ د. $\{٠، \frac{١}{٢}، ١، ٣\}$

ليكن $ق(س) = \sqrt{٤ - س^{٢}}$، $س \in [-٢، ٢]$، فما قيمة س التي يكون للاقتران $ق(س)$ عندها قيمة عظمى مطلقة؟

أ. $-٢$ ب. $٠$ ج. $١$ د. $٢$

إذا كان $ق'(س) = (س^{٢} - ١)^{٣} (س - ٢)^{٤}$ فما الفترة التي يكون فيها $ق(س)$ متناقصاً؟

أ. $(-\infty، -١]$ ب. $[-١، ١]$ ج. $[١، ٢]$ د. $[٢، \infty]$

إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٣س$ معرفاً في الفترة $[-٣، ١]$، فما القيمة الصغرى المطلقة للاقتران $ق(س)$؟

أ. $-٣٦$ ب. $-١٨$ ج. $-٣$ د. $-٢$

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود وكان $ق''(س) > ٠$ عندما $س < ٤$، $ق''(س) < ٠$ عندما $س > ٤$ وكان $ق'(٣) = ٠$، فما العبارة الصحيحة دائماً من العبارات الآتية؟

أ. $ق''(٣) = ٠$ ب. $ق'(٤) = ٠$ ج. $ق(٣)$ قيمة عظمى محلية د. $ق(٣)$ قيمة صغرى محلية

ما مجموعة جميع قيم جـ التي يمكن الحصول عليها من تطبيق نظرية رول على الاقتران $ق(س) = ٨$ في الفترة $[٠، ١]$؟

أ. $\{\}$ ب. $\{٠\}$ ج. $]٠، ١[$ د. $[٠، ١]$

بالاعتماد على الشكل المجاور، الذي يمثل منحنى $ق(س)$ ما النقطة التي يكون عندها $ق'(س)$، $ق''(س)$ موجبتين:

أ. هـ ب. ن ج. م د. و

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً على $[١، ٣]$ وكان $ق''(س) < ٠$ لجميع قيم $س \in ]١، ٣[$، $ق(س)$ له ثلاث نقاط حرجة فقط في $[١، ٣]$ وكان $ق'(٢) = ٠$، فما العبارة الصحيحة مما يأتي؟

أ. $ق(\frac{٥}{٢}) < ٠$ ب. $ق(\frac{٥}{٢}) > ق(٢)$ ج. $ق(\frac{٥}{٢}) = ق(٢)$ د. $ق(\frac{٥}{٢}) < ق(٢)$

ما قيمة الثابت م التي تجعل لمنحنى الاقتران $ق(س) = س^{٣} + م س^{٢} - ٩س$ نقطة انعطاف عند $س = -١$؟

أ. $٣$ ب. $٦$ ج. $-٣$ د. $-٤$

ما قيمة $جـ$ التي تحددها نظرية القيمة المتوسطة على الاقتران $ق(س) = س^{٢} + س - ٦$ في $[-٢، ١]$؟

أ. $\frac{٥}{٢}$ ب. $\frac{٣}{٢}$ ج. $\frac{١}{٢}$ د. $-\frac{١}{٢}$

إذا كان $ق(س) = س|س|$ فما العبارة الصحيحة فيما يأتي؟

أ. $ق'(١)$ غير موجودة ب. $ق(٠)$ قيمة عظمى محلية ج. $ق(٠)$ قيمة صغرى محلية د. $(٠، ق(٠))$ نقطة انعطاف

الشكل المجاور يمثل منحنى $ق'(س)$، ما مجموعة حل المتباينة $ق''(س) > ٠$؟

أ. $]١، ٣[$ ب. $]٢، ∞[$ ج. $]-∞، ٢[$ د. $]-∞، ١[ ∪ ]٣، ∞[$

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود من الدرجة الثالثة معرفاً على $[أ، ب]$، ما أكبر عدد ممكن من النقط الحرجة يمكن أن نحصل عليها للاقتران $ق(س)$؟

أ. $١$ ب. $٢$ ج. $٣$ د. $٤$

إذا كان $ق(س) = لو_{هـ} جاس$، $س \in ]\frac{\pi}{٤}، \pi[$، متى يكون منحنى $ق(س)$ متزايداً؟

أ. $[\frac{\pi}{٤}، \frac{\pi}{٢}]$ ب. $]\frac{\pi}{٤}، \pi[$ ج. $]\frac{\pi}{٢}، \pi[$ د. $[\frac{\pi}{٢}، \pi]$

إذا كان $ق(س) = جاس + جتاس$، $س \in [٠، \frac{\pi}{٤}]$ أثبت أن $ق(س)$ متزايد على مجاله.

جد فترات التزايد والتناقص والقيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س) = \frac{س + ١}{س^{٢} + ٣}$

إذا كان $ق(س) = س^{٢} - ٣س - أ$ تحقق شروط نظرية رول على $[-١، أ]$ جد قيمة/ قيم الثابت $أ$.

إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٣س^{٢} - ٩س + ٥$ معرفاً في الفترة $[-٢، ٦]$ جد:

أ. القيم القصوى المطلقة للاقتران $ق(س)$.

ب. فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س)$.

ج. نقط الانعطاف، وزوايا الانعطاف لمنحنى الاقتران $ق(س)$.

معتمداً على الشكل المجاور، الذي يمثل منحنى الاقتران $ق'(س)$ جد:

أ. فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س)$.

ب. الإحداثيات السينية لنقط الانعطاف.

إذا كان الاقتران $ق(س)$ كثير حدود معرفاً على $[٢، ٦]$ ويقع منحناه في الربع الأول، ومتناقصاً على مجاله، وكان الاقتران $هـ(س) = ٨ - س$ بيّن أن الاقتران $ك(س) = (ق × هـ)(س)$ متناقص في $[٢، ٦]$.

ما أبعاد أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها ١٠ سم؟

إذا كان $ق(س) = جتاس - هـ(س) + ٣س$، $س \in ]٠، \frac{\pi}{٢}[$، حيث $هـ(س)$ قابل للاشتقاق، أثبت أن الاقتران $(ق + هـ)(س)$ متزايد في تلك الفترة.

الشكل المجاور يبيّن منحنى الاقترانين $ق، هـ$ المعرفين على $[أ، ب]$ بيّن أن الاقتران $\frac{ق'(س)}{هـ(س)}$ هو اقتران متزايد على $]أ، ب[$.

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود من الدرجة الثالثة، جد قاعدة الاقتران $ق(س)$ إذا علمت أن النقطة $(٢، -١)$ هي نقطة قيمة صغرى محلية، وأن النقطة $(٠، ٣)$ هي نقطة انعطاف للاقتران $ق(س)$.

مسار للسباق طوله ٤٠٠ م، يحيط بميدان على شكل مستطيل في كل من طرفيه نصف دائرة. ما أبعاد المستطيل التي تجعل مساحته أكبر ما يمكن؟

سلك طوله $١٨$ سم، صنع منه مثلثان كل منهما متساوي الأضلاع، ما طول ضلع كل من المثلثين ليكون مجموع مساحتيهما أصغر ما يمكن؟