تطبيقات التكامل غير المحدود

من ميل المماس إلى معادلة المنحنى

أولاً: تطبيقات هندسية ⁦Geometric Applications⁩

• (لاحظ أن ميل المماس هو $\bar{ص} = ٢ س + ١$)

من السرعة والتسارع إلى المسافة

ثانياً: تطبيقات فيزيائية ⁦Physical Applications⁩

• مسابقة العدو لمسافة $١٠٠$ متر، وشارك فيها $١٧$ متسابقاً، وكان من المتسابقين حامد وحاتم.
• السرعتان: سرعة حامد ن م / ث وسرعة حاتم $(\frac{ن^٢}{٢})$ م / ث.
• لاحظ أن سرعة حامد $ع_١(ن)$ = ن
• فتكون القاعدة التي تحدد المسافة التي قطعها حامد هي:

• وبما أن $ف_١(٠) = ٠$ فتكون $ف_١(ن) = \frac{ن^٢}{٢}$
• نجعل $ف_١(ن) = ١٠٠$ متر ومنها ن = $\sqrt{٢٠٠}$ ثانية

والآن كرة تُقذف للأعلى: متى تبلغ أعلى نقطة؟

تدرّب على التطبيقين

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند أي نقطة عليه يساوي س($٣$ س - $٢$) فجد قاعدة الاقتران ق(س) علماً بأن ق($٢$) = $٥$

إذا كان $\bar{ق}(س) = أ س - ٣ س^٢$ ، فجد قاعدة منحنى الاقتران ق(س) علماً بأن المستقيم س + ص = $٤$ مماس للمنحنى عند النقطة ($١$، ق($١$)).

جد قاعدة منحنى الاقتران ص = ق(س) الذي يمر بنقطة الأصل والنقطة ($١$ ، $٢$) علماً بأن ميل المماس له عند أي نقطة عليه (س، ص) يساوي $٢ \sqrt{أ} س$ حيث أ ثابت، أ > $٠$.

إذا كان $\bar{\bar{ق}}(س) = جتا س$ وكان $\bar{ق}(\pi) = ٢$ ، ق($\pi$) = $١$ ، فجد قاعدة الاقتران ق(س).

تحرك جسم في خط مستقيم من النقطة (و) مبتعداً عنها، بسرعة ابتدائية مقدارها $٣$ م / ث، فإذا كان تسارعه في أي لحظة يساوي (ن) م / ث$^٢$ ، فما سرعته بعد $٥$ ثوان من بدء الحركة، وما المسافة التي قطعها خلال هذه الثواني؟

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند أي نقطة عليه يساوي $(\sqrt{س} + \frac{١}{\sqrt{س}})$ فجد قاعدة الاقتران ق(س) علماً بأنه يمر بالنقطة ($١$ ، $\frac{٢}{٣}$).

قذفت كرة رأسياً إلى أعلى من قمة برج ارتفاعه $٤٥$ متراً عن سطح الأرض، وكانت السرعة في اللحظة ن تساوي (-$١٠$ ن + $٤٠$) م / ث، جد الزمن الذي تستغرقه الكرة للوصول إلى سطح الأرض.