التكامل المحدود

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٣)

شرح الموضوع

يعتبر تل العاصور من الجبال العالية الواقعة شرق رام الله، يريد السيد جهاد حساب مساحة قطعة أرض له واقعة هناك، لاحظ أنه لا يمكن تقسيمها إلى أشكال منتظمة، ولا يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قوانين المساحة المعروفة.

التكامل المحدود

قطعة أرض بلا شكل منتظم: كيف تُحسب مساحتها؟

يريد السيد جهاد حساب مساحة قطعة أرض له واقعة هناك لاحظ أنه لا يمكن تقسيمها إلى أشكال منتظمة، ولا يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قوانين المساحة المعروفة.

كيف يمكنك مساعدة جهاد في حساب مساحة قطعة الأرض؟

مثال ١ :

مثال

المثال 1: إذا كان $ق(س) = ٢ س + ٣$ معرفاً في الفترة $[٢ ، ٦]$ ، ولتكن $\sigma_ن$ تجزئةً نونيةً منتظمةً للفترة نفسها، فاحسب $م(\sigma_ن ، ق)$ معتبراً $س^*_ر = س_ر$ $م(\sigma_ن ، ق) = \frac{ب - أ}{ن} \sum_{ر=١}^ن ق(س^*_ر)$ $= \frac{٤}{ن} \sum_{ر=١}^ن ق(س^*_ر)$ فيكون $س_ر = ٢ + \frac{٤}{ن} ر$ $م(\sigma_ن ، ق) = \frac{٤}{ن} \sum_{ر=١}^ن ق(٢ + \frac{٤}{ن} ر)$ $ق(٢ + \frac{٤}{ن} ر) = ٢(٢ + \frac{٤}{ن} ر) + ٣ = ٧ + \frac{٨}{ن} ر$ $= \frac{٤}{ن} \sum_{ر=١}^ن (٧ + \frac{٨}{ن} ر)$ $= \frac{٤}{ن} \sum_{ر=١}^ن ٧$ $+ \frac{٤}{ن} \times \frac{٨}{ن} \sum_{ر=١}^ن ر$ $$= \⁦frac{⁩٤}{ن} \⁦times⁩ ٧ ن + \⁦frac{⁩٣٢}{ن^٢} \⁦times⁩ \⁦frac{⁩ن (ن + ١)}{٢} $\frac{٤}{ن} \times ٧ ن = ٢٨$ ، $\frac{٣٢}{ن^٢} \times \frac{ن (ن + ١)}{٢} = ١٦ + \frac{١٦}{ن}$ يكون $م(\sigma_ن ، ق) = ٤٤ + \frac{١٦}{ن}$

مثال ٢ :

نعرف المجموع ونبحث عن نهاية الفترة

مثال

المثال 2: إذا كان $ق(س) = ٥ س - ٢$ معرفاً في الفترة $[١ ، ب]$ ، وكانت $\sigma_٥$ تجزئةً خماسيةً منتظمةً لهذه الفترة بحيث، $م(\sigma_٥ ، ق) = ٣٦$ ، جد قيمة ب حيث $س^*_ر = س_ر$ $س^*_ر = س_ر = ١ + \frac{ب - ١}{٥} ر$ $م(\sigma_٥ ، ق) = \frac{ب - ١}{٥} \sum_{ر=١}^٥ ق(س^*_ر)$ $= \frac{ب - ١}{٥} \sum_{ر=١}^٥ ق(١ + \frac{ب - ١}{٥} ر)$ $ق(١ + \frac{ب - ١}{٥} ر) = ٥(١ + \frac{ب - ١}{٥} ر) - ٢ = ٣ + (ب - ١) ر$ $= \frac{ب - ١}{٥} \sum_{ر=١}^٥ (٣ + (ب - ١) ر)$ $\frac{ب - ١}{٥} ((٣ \times ٥) + (ب - ١) \frac{٥ \times ٦}{٢}) = ٣٦$ $\frac{ب - ١}{٥} (١٥ + ١٥(ب - ١)) = ٣ب(ب - ١) = ٣٦$ وينتج بعد التبسيط أن: $ب^٢ - ب - ١٢ = ٠$ $ب = ٤$ ، $ب = -٣$ (مرفوضة)

لماذا رُفضت القيمة $ب = -٣$ ؟

تعريف التكامل المحدود:

التكامل المحدود: نهاية مجاميع المستطيلات

(نسمي أ ، ب حدود التكامل)

(نسمي أ ، ب حدود التكامل)

نطبّق التعريف على اقتران خطي.

مثال ٣ :

مثال

المثال 3: إذا كان $ق(س) = ٥ - ٤ س$ حيث $س \in [٠ ، ٣]$ ، معتبراً $س^*_ر = س_ر$ ، احسب $\int_٠^٣ ق(س) \, د س$ باستخدام تعريف التكامل المحدود. $\int_أ^ب ق(س) \, د س = \lim_{ن \to \infty} \frac{ب - أ}{ن} \sum_{ر=١}^ن ق(س^*_ر)$ $\int_٠^٣ ق(س) \, د س = \lim_{ن \to \infty} \frac{٣ - ٠}{ن} \sum_{ر=١}^ن ق(س_ر)$ $= \lim_{ن \to \infty} \frac{٣}{ن} \sum_{ر=١}^ن (٥ - ٤ (\frac{٣}{ن} ر))$ $= \lim_{ن \to \infty} \frac{٣}{ن} (\sum_{ر=١}^ن ٥$ $- \frac{١٢}{ن} \sum_{ر=١}^ن ر)$ $= \lim_{ن \to \infty} \frac{٣}{ن} (٥ ن - \frac{١٢}{ن} \times \frac{ن (ن + ١)}{٢})$ $٥ن - \frac{١٢}{ن} \times \frac{ن (ن + ١)}{٢} = ٥ن - ٦(ن + ١) = -ن - ٦$ $= \lim_{ن \to \infty} \frac{٣}{ن} (-ن - ٦)$ $= \lim_{ن \to \infty} (-٣ - \frac{١٨}{ن}) = -٣$

لماذا صار $ق(س_ر)$ يساوي $٥ - ٤ (\frac{٣}{ن} ر)$ ؟

لماذا خرج $\frac{١٢}{ن}$ من المجموع وتفرّق الطرح؟

مثال ٤ :

نعرف قيمة التكامل ونبحث عن ثابت

مثال

المثال 4: إذا علمت أن $\int_{-١}^٤ ق(س) \, د س = ٩$ ، وكان $م(\sigma_ن ، ق) = \frac{(ن + ١)(٢ أ ن + ١)}{ن^٢}$ حيث $\sigma_ن$ تجزئة نونية منتظمة للفترة $[-١ ، ٤]$ ، فجد قيمة الثابت أ . $\int_{-١}^٤ ق(س) \, د س = \lim_{ن \to \infty} م(\sigma_ن ، ق)$ إذن $\int_{-١}^٤ ق(س) \, د س = \lim_{ن \to \infty} \frac{(ن + ١)(٢ أ ن + ١)}{ن^٢} = ٩$ ومنها يكون $٢ أ = ٩$ ومنها $أ = \frac{٩}{٢}$

لماذا كانت النهاية تساوي $٢ أ$ ؟

نظرية (١):

متى يكون الاقتران قابلاً للتكامل؟

مثال ٥ :

نظرية (٢):

مثال ٦ :

مثال

المثال 6: ابحث في قابلية التكامل للاقتران $ق(س) = [\frac{١}{٢} س]$ في الفترة $[٤ ، ٦]$ . $ق(س) = [\frac{١}{٢} س]$ $= \begin{cases} ٢ & ، ٤ \le س < ٦ \\ ٣ & ، س = ٦ \end{cases}$ نفرض أن $هـ(س) = ٢$ حيث $س \in [٤ ، ٦]$ ، لاحظ أن $هـ(س)$ قابل للتكامل لأنه متصل وبما أن $هـ(س) = ق(س)$ لجميع قيم $س \in [٤ ، ٦]$ ما عدا عند $س = ٦$ فإن الاقتران $ق(س) = [\frac{١}{٢} س]$ يكون قابلاً للتكامل على $[٤ ، ٦]$ .

فكرة المثال التالي هي نفسها: نستبدل الاقتران بآخر متصل يساويه إلا عند نقطة.

مثال ٧ :

مثال

المثال 7: بيّن أن الاقتران $ق(س) = \frac{س^٢ - ١}{س + ١}$ قابل للتكامل في الفترة $[-٢ ، ٢]$ نفرض أن $هـ(س) = س - ١$ حيث $س \in [-٢ ، ٢]$ لاحظ أن $هـ(س)$ اقتران متصل؛ لأنه كثير حدود فهو قابل للتكامل في الفترة $[-٢ ، ٢]$ وبما أن $هـ(س) = ق(س)$ عند جميع قيم $س \in [-٢ ، ٢]$ ما عدا عند $س = -١$ فإن الاقتران $ق(س)$ يكون قابلاً للتكامل في $[-٢ ، ٢]$

تمارين ٥ - ٢

تمارين التكامل المحدود

إذا كان $ق(س) = ٢ - ٥ س$ ، وكانت $\sigma_ن$ تجزئةً نونيةً منتظمةً للفترة $[-١ ، ٣]$ ، فاحسب $م(\sigma_ن ، ق)$ معتبراً $س^*_ر = س_ر$

إذا كان $ق(س) = أ هـ(س) + ب$ وكانت $\sigma_ن$ تجزئةً نونيةً منتظمةً للفترة $[٠ ، ١]$ ، فأثبت أن: $م(\sigma_ن ، ق) = أ م(\sigma_ن ، هـ) + ب$ لجميع اختيارات $س^*_ر$

إذا كان $ق(س) = ٢ س$ معرفاً في الفترة $[١ ، ب]$ ، وكان $م(\sigma_ن ، ق) = ٣٥ + \frac{٢٥}{ن}$ ، فما قيمة الثابت ب؟

استخدم تعريف التكامل المحدود في إيجاد قيمة كل من:

أ. $\int_{-١}^٤ \frac{١}{٢} \, د س$

ب. $\int_١^٢ (٤ - ٦ س) \, د س$

بيّن أن الاقتران $ق(س) = \frac{جتا^٣ س - ١}{جتاس - ١}$ قابل للتكامل في الفترة $[-\frac{\pi}{٢} ، \frac{\pi}{٢}]$

تعريفات أساسية

التكامل المحدود: إذا كان الاقتران $ق(س)$ معرفاً ومحدوداً في الفترة $[أ ، ب]$ ، وكانت $\lim_{ن \to \infty} م(\sigma_ن ، ق) = ل$ لجميع قيم $س^ر \⁦in [⁩س{ر-١} ، س_ر]$ فإن الاقتران $ق(س)$ يكون قابلاً للتكامل في الفترة $[أ ، ب]$ ، ويكون $\int_أ^ب ق(س) \, د س = ل$
قابلية التكامل: إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً في الفترة $[أ ، ب]$ ، فإنه يكون قابلاً للتكامل في الفترة $[أ ، ب]$

معاينة موضوع «التكامل المحدود» من وحدة «التكامل المحدود وتطبيقاته» في مادة الرياضيات (الفرع العلمي). أقسام الشرح: ١٣، التعريفات: ٢، الأسئلة المحلولة: ١.

المصدر: وزارة التربية والتعليم، التكامل المحدود (ص ١٧٥–١٧٩)

التكامل المحدود

شرح الموضوع

التكامل المحدود

قطعة أرض بلا شكل منتظم: كيف تُحسب مساحتها؟

مثال ١ :

مثال ٢ :

نعرف المجموع ونبحث عن نهاية الفترة

تعريف التكامل المحدود:

التكامل المحدود: نهاية مجاميع المستطيلات

(نسمي أ ، ب حدود التكامل)

مثال ٣ :

مثال ٤ :

نعرف قيمة التكامل ونبحث عن ثابت

نظرية (١):

متى يكون الاقتران قابلاً للتكامل؟

مثال ٥ :

نظرية (٢):

مثال ٦ :

مثال ٧ :

تمارين ٥ - ٢

تمارين التكامل المحدود

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد