ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2022، الدورة الأولى، الورقة الأولى، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2022، الدورة الأولى، الورقة الأولى: ٢٨ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٤ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2022
الدورة: الدورة الأولى
الفرع: العلمي
تاريخ الامتحان: 18 حزيران 2022
عدد الأسئلة: 28

الإجابة الصحيحة تحت 14 سؤالاً من 28. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

14 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (30 علامة)يتكون هذا السؤال من (١٥) فقرة من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، اختر رمز الإجابة الصحيحة، ثم ضع إشارة (×) في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = س^{٢} - ٨س + ١٨$ ، ما متوسط التغير للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٤ ، ٥]$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١$

متوسط التغير

= \frac{ق(٥) - ق(٤)}{٥ - ٤}

. ق(٤) $= ١٦ - ٣٢ + ١٨ = ٢$ وق(٥) $= ٢٥ - ٤٠ + ١٨ = ٣$ ، فالمتوسط $= \frac{٣ - ٢}{١} = ١$ .

ما قيمة $\lim_{س \to ٠} \frac{قاس - ١}{س}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) صفر

التعويض المباشر يعطي $\frac{٠}{٠}$ لأن $قا٠ - ١ = ٠$ ، فنطبق قاعدة لوبيتال: مشتقة البسط $قاس \, ظاس$ ومشتقة المقام ١. إذن النهاية

= قا٠ \times ظا٠ = ١ \times ٠ = ٠

إذا كان $ه(س) = س^{٢} ق(س)$ ، وكان $ق(٢) + ق'(٢) = ٦$ ، فما قيمة $ه'(٢)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $٢٤$

نشتق حاصل الضرب:

ه'(س) = ٢س \, ق(س) + س^{٢} ق'(س)

. عند $س = ٢$ :

ه'(٢) = ٤ق(٢) + ٤ق'(٢) = ٤(ق(٢) + ق'(٢)) = ٤ \times ٦ = ٢٤

إذا كان $ق(س) = ه^{-جاس}$ معرفاً في الفترة $[٠ ، \pi]$ ، فما القيمة الصغرى المطلقة للاقتران $ق(س)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{١}{ه}$

الاقتران متصل على $[٠ ، \pi]$ و

ق'(س) = -جتاس \, هـ^{-جاس} = ٠

عند $س = \frac{\pi}{٢}$ حيث $ق = هـ^{-١}$ . وعند الطرفين

ق(٠) = ق(\pi) = هـ^{٠} = ١

. أصغر هذه القيم $\frac{١}{هـ}$ وهي الصغرى المطلقة.

إذا كان $ق(س) = جتا^{٣} ٢س$ ، فما قيمة $ق'(س)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-٦ جتا^{٢} ٢س \, جا٢س$

الاقتران $(جتا ٢س)^{٣}$ قوة لاقتران، فنشتق:

٣ جتا^{٢} ٢س \times (-جا٢س) \times ٢ = -٦ جتا^{٢} ٢س \, جا٢س

. المشتقة الداخلية $٢$ هي سبب العدد ٦ لا ٣.

إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٣س^{٢} - ج س$ ، وكان قياس زاوية الانعطاف لمنحنى $ق(س)$ هو $\frac{\pi}{٤}$ ، فما قيمة الثابت ج ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٤$

نقطة الانعطاف عند $ق''(س) = ٦س - ٦ = ٠$ أي $س = ١$ . ظل زاوية الانعطاف $= ق'(١)$ ، فـ

٣ - ٦ - ج = ظا\frac{\pi}{٤} = ١

ومنها $ج = -٤$ .

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س^{٣} + ٣س , & س \ge ١ \\ س^{٢} + ٣س , & س < ١ \end{cases}$ ، فما قيمة $ق''(١)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) غير موجودة

المشتقة من اليمين عند ١ هي $٣(١)^{٢} + ٣ = ٦$ ومن اليسار $٢(١) + ٣ = ٥$ ، وهما مختلفتان، فلا يكون $ق$ قابلاً للاشتقاق عند ١ ولا يمكن إيجاد $ق''(١)$ ؛ أي أنها غير موجودة.

إذا كان $ق(س) = (س + ١)(س - ١)(س^{٢} + ١)$ ، فما قيمة $ق'(-٢)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٣٢$

نضرب العوامل أولاً:

(س + ١)(س - ١) = س^{٢} - ١

ثم

(س^{٢} - ١)(س^{٢} + ١) = س^{٤} - ١

. إذن $ق'(س) = ٤س^{٣}$ ومنها $ق'(-٢) = ٤(-٨) = -٣٢$ .

ما قيمة ج التي نحصل عليها من تطبيق نظرية رول على الاقتران $ق(س) = \sqrt{٦س - س^{٢}}$ ، في الفترة $[٠ ، ٦]$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $٣$

$ق(٠) = ق(٦) = ٠$ فشرط رول متحقق، ونجد

ق'(جـ) = \frac{٦ - ٢جـ}{٢\sqrt{٦جـ - جـ^{٢}}} = ٠

ومنها $٦ - ٢جـ = ٠$ أي $جـ = ٣$ .

إذا كان $\frac{د}{دس} \left( \frac{س}{ق(س)} \right) = \frac{ب}{س}$ ، حيث $ق(س)$ ، $س \neq ٠$ ، وكان $ق'(٤) = \frac{١}{٢}$ ، $ق(٤) = ١$ ، فما قيمة الثابت ب ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-٤$

قاعدة القسمة:

\frac{د}{دس}\left(\frac{س}{ق(س)}\right) = \frac{ق(س) - س \, ق'(س)}{(ق(س))^{٢}}

. عند $س = ٤$ :

\frac{١ - ٤ \times \frac{١}{٢}}{١} = -١

. فـ $\frac{ب}{٤} = -١$ ومنها $ب = -٤$ .

عرض باقي الأسئلة (١٨)

إذا كان $ق'(س) = (س^{٣} - ٨)^{٤} (س - ٣)^{٥}$ ، فما الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران $ق(س)$ متزايداً؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $[٣ ، ∞[$

إشارة $ق'(س)$ هي إشارة $(س - ٣)^{٥}$ لأن $(س^{٣} - ٨)^{٤} \ge ٠$ دائماً. فتكون $ق'(س) > ٠$ عندما $س > ٣$ فيتزايد على $[٣ ، ∞[$ ، وتكون سالبة قبل ٣ (ولا تتغير إشارتها عند ٢).

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران كثير الحدود $ق(س)$ . أي العبارات الآتية صحيحة دائماً؟

أ
$ق'(٣) < ق''(٣) < ق(٣)$
ب
$ق''(٣) < ق'(٣) < ق(٣)$
ج
$ق''(٣) < ق(٣) < ق'(٣)$
د
$ق(٣) < ق''(٣) < ق'(٣)$

إذا كان $ق(س) = \frac{١}{س^{٢} + س + ٣}$ معرفاً في الفترة $[١ ، ٣[$ ، فما عدد النقاط الحرجة للاقتران $ق(س)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) نقطة واحدة

ق'(س) = \frac{-(٢س + ١)}{(س^{٢} + س + ٣)^{٢}}

لا تساوي صفراً في $[١ ، ٣[$ . لكن $س = ١$ طرف الفترة وهو من المجال وغير قابل للاشتقاق عنده، فهو نقطة حرجة. أما ٣ فليس من المجال، فالنقطة الحرجة الوحيدة واحدة.

إذا كان $جاس = ه^{ص}$ ، فما قيمة $\frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-قتا^{٢}س$

من $جاس = هـ^{ص}$ ينتج $ص = لو_{هـ} جاس$ ، فـ

ص' = \frac{جتاس}{جاس} = ظتاس

. ثم $ص'' = -قتا^{٢}س$ لأن مشتقة $ظتاس$ هي $-قتا^{٢}س$ .

إذا كان المستقيم $أس + بص + ج = ٠$ (حيث أ ، ب $\neq ٠$ ) عمودياً على المماس لمنحنى الاقتران $ص = \frac{١}{س}$ ، $س > ٠$ ، فما العبارة الصحيحة دائماً من العبارات الآتية؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) أ ، ب مختلفا الإشارة

ميل المماس $ص' = \frac{-١}{س^{٢}} < ٠$ عندما $س > ٠$ ، فميل العمودي عليه

= \frac{-١}{ميل المماس} = س^{٢} > ٠

. وميل المستقيم $أس + بص + ج = ٠$ هو $\frac{-أ}{ب}$ الموجب، فيكون $أ$ و $ب$ مختلفي الإشارة.

السؤال الثاني (20 علامة)أ)

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} أس^{٢} - ٢س - ٢ , & -١ \le س < ١ \\ س^{٢} + بس - ٤ , & ١ \le س \le ٣ \end{cases}$ يحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في الفترة $[-١ ، ٣]$ ، جد قيم الثابتين أ ، ب ثم جد قيمة/قيم ج التي تحددها النظرية. (١٢ علامة)

ب)

إذا كان $ق(س) = ٢ جتا^{٢} س + س^{٢}$ معرفاً في الفترة $]٠ ، \pi[$ ، فحدد فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س)$ .

(٨ علامات)

السؤال الثالث (20 علامة)أ)

إذا كان $\lim_{س \to ١} \frac{٢ ق^{٢}(س) - ٢}{س^{٢} - ١} = ٦$ ، وكان $ه(س) = \sqrt[٣]{ق(س)}$ ، $ق(س)$ كثير حدود موجب ، فجد $ه'(١)$ .

(٦ علامات)

ب)

أطلقت كرة رأسياً إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض من أمام بناية ارتفاعها ٥٥ متراً بحيث أن ارتفاع الكرة (بالأمتار) عن سطح الأرض بعد (ن) ثانية يتحدد بالعلاقة $ف(ن) = ٦٠ن - ٥ن^{٢}$ .

ما سرعة الكرة عندما تصل الى مستوى سطح البناية.
ما أقصى ارتفاع للكرة عن مستوى سطح البناية.

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = (س - ٩) \sqrt{س}$ معرفاً على الفترة $[٠ ، ٤]$ ، فجد

مجالات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$
القيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س)$ .

(٧ علامات)

السؤال الرابع (15 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من أربعة أسئلة وعلى المشترك أن يجيب عن سؤالين فقط.أ)

إذا كان $٣ ص = ٣ ظتا س + ظتا^{٣} س$ ، فبين أن $\frac{ص''}{ص'} = -٤ ظتا س$

(٧ علامات)

ب)

إذا كان $ق(س) = ٢س^{٢}$ ، وكان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ه(س)$ عند النقطة $(١ ، أ)$ يساوي ب ، وكانت $(ق \circ ه)'(١) = (ه \circ ق)'(١)$ ، بيّن أن $ه'(٢) = أ \times ب$ .

(٨ علامات)

السؤال الخامس (15 علامة)أ)

إذا كان منحنى الاقتران $ق(س) = أ س^{٣} - ب س^{٤}$ ، $س > ٠$ ، وكانت $ق(١) = ١$ ، وكان للاقتران $ق(س)$ نقطة انعطاف هي $(أ ، ق(أ))$ . جد

قيم الثابتين أ ، ب .
ظل زاوية الانعطاف لمنحنى الاقتران $ق(س)$ .

(٨ علامات)

ب)

يبين الشكل المجاور منحنى $ق(س)$ والمماس المرسوم له عند س = ٢ ، فإذا كان $ق(٢) + ق'(٢) = ٨$ ، جِد معادلة العمودي على المماس عند س = ٢ .

(٧ علامات)

السؤال السادس (15 علامة)أ)

جد أكبر مساحة ممكنة لمستطيل يمكن رسمه داخل دائرة طول نصف قطرها ٤ سم ، بحيث يقع أحد أضلاعه على قطر الدائرة ورأساه الآخران على الدائرة.

(٨ علامات)

ب)

إذا كان $م(س) = (ق(س) - س^{٢})^{٢}$ ، وكان لمنحنى كثير الحدود $ق(س)$ قيمة عظمى محلية عند النقطة $(-١ ، ٣)$ ، وكانت $م''(-١) = ٨$ . ما قيمة $ق''(-١)$ ؟

(٧ علامات)

السؤال السابع (15 علامة)أ)

إذا علمت أن $س = ٢ لو_{ه} \frac{س}{ق(س)}$ ، وكانت س ، $ق(س) > ٠$ ، أثبت أن القيمة العظمى المطلقة للاقتران $ق(س)$ هي $\frac{٢}{ه}$ ؟

(٨ علامات)

ب)

إذا كان $ه^{س} \times ه^{ص} = ص + ١$ ، فبيّن أن $ص \, ص' = -ه^{س + ص}$ .

(٧ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2022، الدورة الأولى، الورقة الأولى، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد