امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2024، الدورة الأولى، الورقة الأولى

إذا كان $ق(س) = س^{٢} + ٢لو_{ه} س$ ، $س \in ]٠ ، ٤]$ . جد

1. فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س)$ على الفترة $]٠ ، ٤]$ .
2. نقاط الانعطاف (ان وجدت) للاقتران $ق(س)$ .

إذا كان $ص = ق(س) = \frac{س ه^{٦س}}{جاس}$ ، $جاس \neq ٠$ ، جد $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = \frac{\pi}{٢}$ .

إذا كان $ق(س) = س^{٣} + ٤س - ٢$ ، $ه(س) = \sqrt{أس}$ ، وكان $(ق \circ ه)'(٢) = ١٨$ ، ما قيمة / قيم الثابت $أ$ ؟

إذا كان $ق(س) = ٣جاس جتاس$ ، $س \in [٠ ، \pi]$ ، جد

1. فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س)$ .
2. القيم القصوى المحلية والمطلقة للاقتران $ق(س)$ (إن وجدت).

إذا كان $ص^{٢} + ٢س ص = ١٢$ ، وكان $ع = ٣ص - ص^{٢} + ٥$ . جد $\frac{دع}{دس}$ عندما $ص = ٢$ .

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س^{٢} - ٥ & ، \; -٣ \le س \le ١ \\ ٢س - ٦ & ، \; ١ < س \le ٥ \end{cases}$ ابحث في تحقق شروط نظرية رول للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٣ ، ٥]$ ، ثم جد قيمة / قيم ج التي تعينها النظرية (إن وجدت). (٦ علامات)

جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = جاس + جا(٢س)$ ، عندما $س = \frac{\pi}{٢}$ .

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود بحيث $ق(٠) = ٠$ ، وكان $ق'(٠) = ٧$ ، جد $\lim_{س \to ٠} \frac{ه^{ق(س)} - ه^{س}}{٢لو_{ه}(س + ١) - س}$ .

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود بحيث $ق(س) = -\frac{١}{٢}س^{٣} + ٣س^{٢} + ع(س)$ ، وكان للاقتران $ق(س)$ نقطة انعطاف أفقي عند النقطة $(٢ ، ١)$ ، وكان $ل(س) = ع^{٢}(س) + س^{٢}$ ، $ع(س) \neq ٠$ . جد $ل''(٢)$ .

إذا كان متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ٣]$ يساوي ٤ ، احسب متوسط التغير في الاقتران $ه(س) = س^{٢}ق(س) - ٢س$ في نفس الفترة، علماً بأن منحنى الاقتران $ه(س)$ يمر بالنقطة $(٣ ، ١٢)$ .

يراد إنشاء خزان على شكل متوازي مستطيلات، قاعدته مربعة ومفتوح من الأعلى بتكلفة ٤٨ دينارا، فإذا كانت تكلفة المتر المربع من القاعدة (١٦) دنانير، والمتر المربع من الجوانب (٤) دينارا. أوجد أبعاد الخزان بحيث تكون سعته أكبر ما يمكن.

إذا علمت أن $ص^{٢}(س^{٢} + ١) = ٦$ ، أثبت أن $س ص^{٥} + ٦ص^{٢}\left(\frac{دص}{دس}\right) = ٠$

إذا كان $ق(س) = س^{٣} + ٣$ معرفاً على الفترة $[١ ، ب]$ ، اثبت باستخدام نظرية القيمة المتوسطة وجود عدد حقيقي واحد على الأقل $ج \in (١ ، ب)$ بحيث $٣ج^{٢} = ب^{٢} + ب + ١$ .

الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $ه(س)$ المعرف على الفترة $[١ ، ٥]$ ، فاذا كان $ق(س) = (٥ - ه(س))^{٣}$ ، وكان $ل(س) = (ق \times ه')(س)$ ، أثبت ان $ل(س)$ متناقصا في الفترة $]٣ ، ٥[$ .

تحرك جسم في خط مستقيم وفق العلاقة $ف(ن) = ن^{٢}(أ ن + ب) + ٧$ ، حيث ف : تمثل بعد الجسم عن نقطة ثابتة بالأمتار ، ن : الزمن الثواني. فإذا كان تسارعه عندما ($ن = ٦$ ث) يساوي ١٨م/ث² ، ويعكس الجسم من اتجاه حركته في تلك اللحظة ، جد قيم الثابتين $أ$ ، $ب$ .