امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2023، الدورة الأولى، الورقة الأولى

إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٦س^{٢} + ٩س$ معرّفاً في الفترة $[-١ ، ٤]$ ، جد لمنحنى الاقتران $ق(س)$

1. القيم القصوى المحلية.
2. فترات التقعر للأعلى وللأسفل ونقاط الانعطاف (إن وجدت).

إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س) = ٤س^{٢} - ب$ في الفترة $[٢ ، ج]$ يساوي $-٤$ ، جد قيمة الثابت ج.

إذا كان المستقيم $٦ص = أ - س$ يمس منحنى $ق(س) = \frac{٣س}{س - ٢}$ ، $س \neq ٢$ جد قيمة الثابت أ.

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س ه^{س} + ٢ & ، -١ \le س \le ٠ \\ س - س^{٢} + ٢ & ، ٠ < س \le ٢ \end{cases}$ ، أثبت أنه يوجد $ج \in ]-١ ، ٢[$ بحيث: $ق'(ج) = \frac{١ - ٢ه}{٣ه}$

قذف جسم رأسيا إلى أعلى من قمة برج بحيث تعين العلاقة $ف = ٤٠ ن - ٥ ن^{٢}$ ارتفاع الجسم عن سطح البرج بعد (ن) ثانية. إذا كانت المسافة التي قطعها الجسم لحظة وصوله إلى الأرض تساوي ٢٠٥ م، فجد كلاً مما يلي

1. ارتفاع البرج
2. سرعة الجسم لحظة وصوله الى سطح الأرض.

إذا كان $ق'(س) = \sqrt{س} \, ق(س) + ق(٤)$ بحيث $ق'(٤) = ٦$ ، فجد $ق''(٤)$

إذا كان $ص = \left(\frac{ع + ١}{ع - ١}\right)^{٢}$ ، $ع \neq ١$ ، $ع = س^{٢} + ٢س$ ، جد قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما س = ١.

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} \sqrt{س + ٣} - أ & ، س \ge ١ \\ س^{٢} - ب س & ، س < ١ \end{cases}$ فجد قيمة كل من الثابتين أ ، ب علما بأن $ق'(س)$ موجودة لجميع قيم س الحقيقية.

سلك طوله ١٢٠ سم، تم قطعه إلى أجزاء لتشكيل حواف (أحرف) صندوق على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل. ما أكبر حجم لذلك الصندوق؟

إذا كان $ق(س) = س^{٢} + ٥أس$ ، $ه(س) = \frac{س + ١}{٢أ}$ ، وكان $(ق \circ ه)'(١) = \frac{١٣}{٢}$ ، فجد قيم/ة الثابت أ

إذا كان $ق(س)$ ، $ه(س)$ اقترانين بحيث $ق'(س) + ه(س) = ٠$ ، $ه'(س) - ق(س) = ٠$ ، $ق(س)$ ، $ه(س) > ٠$ ، عين مجالات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ع(س) = \frac{ق(س^{٢})}{ه(س^{٢})}$ ، في الفترة $[-\frac{١}{٢} ، \frac{١}{٢}]$ .

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $ق'(س)$ لكثير الحدود $ق(س)$ المعرف على $[-٣ ، ٣]$ ، إذا علمت أن للاقتران $ق'(س)$ نقاط انعطاف عند كل من س=١، س=-١ ، معتمداً عليه جد كلاً مما يلي

1. مجالات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$
2. مجالات التزايد والتناقص للاقتران $ق''(س)$

إذا كان $\sqrt[٣]{س (ص - ١)} = \sqrt{س}$ ، $س ، ص \in ح^{+}$ ، أثبت أن $٢\sqrt{س} \, \frac{دص}{دس} = ١$ .

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود من الدرجة الثانية ويقطع محور السينات في نقطتين مختلفتين $س_{١}$ ، $س_{٢}$ ، حيث $س_{١} < س_{٢}$ ، أثبت أن قيمة ج التي تحددها نظرية رول على الاقتران $ه(س) = \sqrt[٣]{ق(س)}$ ، $س \in [س_{١} ، س_{٢}]$ هي $\frac{س_{١} + س_{٢}}{٢}$ .

إذا كانت $ق(س) = \sqrt[٣]{س^{٢} + ٧}$ ، وكان $ه(١) = ١$ ، $ه'(١) = ١٢$ جد $\lim_{س \to ١} \frac{(ق \circ ه)^{٢}(س) - ٤}{س - ١}$ .