إذا كانت ق'(س) = (-س)/(√(٩ - س²)) ، س ]-٣ ، ٣[ ، فما العبارة الصحيحة فيما يأتي؟

ق(س) متزايد في -٣ ، ٣

ق(٠) قيمة صغرى مطلقة في -٣ ، ٣

ق(س) متناقص في -٣ ، ٠

ليكن ق(س) = ه^س ، س ع ، فما العبارة الصحيحة فيما يأتي؟

ق(س) مقعر للأسفل على مجاله

ق(س) موجب ومتناقص على مجاله

ق(س) سالب على مجاله

ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الأولى، الورقة الأولى

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الأولى، الورقة الأولى: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، ومفتاح الإجابة غير منشور بعد. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الأولى
الفرع: العلمي
تاريخ الامتحان: 3 تموز 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 14 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

14 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = س^{ن}$ ، $ن \in ص$ ، $ن \neq ٠$ ، وكان $ق^{(٣)}(س) = أ س$ ، فما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $٢٤$

المشتقة الثالثة للقوة $س^{ن}$ تساوي $ن(ن-١)(ن-٢)س^{ن-٣}$ ، ولتكون $أس$ يلزم $ن-٣=١$ أي $ن=٤$ . إذن $أ=٤ \times ٣ \times ٢=٢٤$ .

إذا كان $ق(س) = س^{٢} - ٢ \, لو_{ه} س$ ، $س \in ]٠ ، ٥]$ ، ما هي مجموعة قيم $س$ للنقط الحرجة للاقتران $ق(س)$ ؟

(علامتان)

أ
$\{٠ ، ١ ، ٥\}$
ب
$\{١ ، ٥\}$
ج
$\{-١ ، ١ ، ٥\}$
د
$\{٠ ، -١ ، ١ ، ٥\}$

ما قيمة الثابت $م$ التي تجعل لمنحنى $ق(س) = س^{٣} - م س^{٢} - ٩ س$ ، $س \in ع$ نقطة انعطاف عند $س = -١$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-٣$

نقطة الانعطاف تحتاج $ق''(-١)=٠$ . $ق''(س)=٦س-٢م$ ، فعند $س=-١$ ينتج $-٦-٢م=٠$ أي $م=-٣$ ، وعندها $ق''(س)=٦س+٦$ تغيّر إشارتها عند $-١$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س^{٢} - س , & ٠ \le س \le ١ \\ س - ١ , & ١ < س \le ٣ \end{cases}$ ، جد

فترات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٠ ، ٣]$
جد القيم القصوى المحلية والمطلقة للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٠ ، ٣]$

(٨ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = \sqrt{٢ س + ١}$ ، وكان متوسط التغير للاقتران $ق(س)$ عندما تتغير $س$ من $٠$ إلى $ب$ يساوي $\frac{١}{٢}$ ، احسب قيمة الثابت $ب$ ، $ب > ٠$

(٦ علامات)

اعرض الإجابة

متوسط التغير = (ق(ب) − ق(٠))/ب = (√(٢ب + ١) − ١)/ب = ١/٢ √(٢ب + ١) = ١ + ب/٢ ⇒ ٢ب + ١ = ١ + ب + ب²/٤ ⇒ ب²/٤ − ب = ٠ ⇒ ب(ب − ٤) = ٠ ب = ٤ (يُرفض ب = ٠ لأن ب > ٠).

السؤال الثاني (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $س = قا ص$ ، $س \in ]٠ ، \frac{\pi}{٢}[$ ، فما قيمة $ص'$ ؟

(علامتان)

أ
$\frac{١}{٢ \left( \sqrt{س^{٢} - ١} \right)}$
ب
$\frac{-١}{س \left( \sqrt{س^{٢} - ١} \right)}$
ج
$\frac{١}{س \left( \sqrt{س^{٢} - ١} \right)}$
د
$\frac{١}{س \left( \sqrt{١ - س^{٢}} \right)}$

ما أصغر قيمة للاقتران $ق(س) = ه^{س} - ه س$ ، $س \in [٠ ، ٣]$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) صفر

الاقتران متصل على $[٠ ، ٣]$ فقيمته الصغرى المطلقة عند نقطة حرجة أو طرف. $ق'(س)=ه^{س}-ه=٠$ عند $س=١$ ، و $ق(١)=ه-ه=٠$ ، بينما $ق(٠)=١$ و $ق(٣)=ه^{٣}-٣ه>٠$ ، فأصغر قيمة صفر.

إذا كانت $ص = \left( ٢ + \frac{٢}{س} \right)^{٤}$ ، فما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = ٢$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٥٤$

بقاعدة السلسلة:

\frac{دص}{دس}=٤\left(٢+\frac{٢}{س}\right)^{٣} \times \frac{-٢}{س^{٢}}

. عند $س=٢$ :

٤ \times ٣^{٣} \times \frac{-٢}{٤}=-٥٤

ب)

إذا كان $ق(س) = \sqrt[٣]{س}$ ، $س \in ع$ ، جد

فترات التقعر للأعلى وللأسفل للاقتران $ق(س)$ .
نقط الانعطاف، وزوايا الانعطاف للاقتران $ق(س)$ (إن وجدت).

(٨ علامات)

ج)

إذا علمت أن $ص = \frac{س}{قتا س + ظتا س}$ ، أثبت أن $ص' = \frac{١ + س قتا س}{قتا س + ظتا س}$ .

(٦ علامات)

اعرض الإجابة

ص' = [(قتا س + ظتا س)(١) − س(⁦−⁩قتا س ظتا س − قتا² س)] ÷ (قتا س + ظتا س)² = [(قتا س + ظتا س) + س قتا س (ظتا س + قتا س)] ÷ (قتا س + ظتا س)² = [(قتا س + ظتا س)(١ + س قتا س)] ÷ (قتا س + ظتا س)² = (١ + س قتا س)/(قتا س + ظتا س) ■

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $ق'(س) = \frac{-س}{\sqrt{٩ - س^{٢}}}$ ، $س \in ]-٣ ، ٣[$ ، فما العبارة الصحيحة فيما يأتي؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $ق(٠)$ قيمة عظمى محلية

$ق'(س)>٠$ عندما $-٣<س<٠$ و $ق'(س)<٠$ عندما $٠<س<٣$ ، فالاقتران يتزايد ثم يتناقص، فيكون $ق(٠)$ قيمة عظمى محلية حسب اختبار المشتقة الأولى. أما «متزايد في $]-٣،٣[$ » فخطأ لأنه متناقص بعد الصفر.

إذا كان $ق(س^{٣}) = \frac{١}{س}$ ، ما قيمة $ق'(٨)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{-١}{٤٨}$

نشتق الطرفين بقاعدة السلسلة:

٣س^{٢}ق'(س^{٣})=-\frac{١}{س^{٢}}

. عند $س=٢$ : $١٢ق'(٨)=-\frac{١}{٤}$ فيكون $ق'(٨)=\frac{-١}{٤٨}$ .

إذا كان $ق(س) = جتا س + جا^{٢} س$ ، $س \in ]٠ ، \frac{\pi}{٣}]$ ، ما قيمة $س$ التي يكون عندها للاقتران $ق(س)$ قيمة قصوى محلية؟

(علامتان)

أ
$\frac{\pi}{٢}$
ب
$\frac{\pi}{٣}$
ج
$\frac{\pi}{٤}$
د
$\frac{\pi}{٦}$

ب)

قذف جسم رأسيا الى أعلى من قمة برج بحيث أن ارتفاعه عن البرج بالأمتار بعد $ن$ ثانية يعطى بالعلاقة $ف(ن) = ٣٠ ن - ٥ ن^{٢}$ ، جد

الزمن اللازم للجسم ليصل سطح الأرض علما بأن أقصى ارتفاع للجسم عن سطح الأرض يساوي ١٨٠ م .
المسافة الكلية المقطوعة خلال الثواني الأربعة الأولى.

(٧ علامات)

اعرض الإجابة

١. ع(ن) = ٣٠ − ١٠ن = ٠ ⇒ ن = ٣ ، أقصى ارتفاع عن قمة البرج ف(٣) = ٤٥ م. ارتفاع البرج = ١٨٠ − ٤٥ = ١٣٥ م. يصل سطح الأرض عندما ف(ن) = −١٣٥: ٣٠ن − ٥ن² = −١٣٥ ⇒ ن² − ٦ن − ٢٧ = ٠ ⇒ (ن − ٩)(ن + ٣) = ٠ ⇒ ن = ٩ ثوانٍ. ٢. في الثواني الأربع الأولى: ف(٤) = ١٢٠ − ٨٠ = ٤٠ م، المسافة الكلية = ٢ × ٤٥ − ٤٠ = ٥٠ م (٤٥ م صعوداً ثم ٥ م هبوطاً).

ج)

إذا كانت $ص^{٢} - ٣ س ص + ٣ س^{٢} = ٢١$ ، $ع = ٥ ص - ص^{٢} + ٨$ ، فإذا علمت أن $س > ٢$ ، جد $\frac{دع}{دس}$ عندما $ص = ٦$ .

(٧ علامات)

اعرض الإجابة

عند ص = ٦: ٣٦ − ١٨س + ٣س² = ٢١ ⇒ س² − ٦س + ٥ = ٠ ⇒ س = ١ أو س = ٥، وبما أن س > ٢ فإن س = ٥. نشتق ضمنياً: ٢ص ص' − ٣ص − ٣س ص' + ٦س = ٠ ⇒ ص' = (٣ص − ٦س)/(٢ص − ٣س) = (١٨ − ٣٠)/(١٢ − ١٥) = ٤. دع/دص = ٥ − ٢ص = −٧. دع/دس = دع/دص × دص/دس = (⁦−⁩٧)(٤) = −٢٨.

السؤال الرابع (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

ما قيمة $نها_{س \to ٢} \frac{ق(س^{٢}) - س ق(٢)}{س^{٣} - ٨}$ ، علما بأن $ق(٢) = -٢$ ، $ق(٤) = -٤$ ، $ق'(٤) = -١$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{-١}{٦}$

بالتعويض المباشر: $ق(٤)-٢ق(٢)=-٤+٤=٠$ والمقام $٠$ ، فهي $\frac{٠}{٠}$ . بقاعدة لوبيتال:

\frac{٢س ق'(س^{٢})-ق(٢)}{٣س^{٢}}=\frac{٤(-١)+٢}{١٢}=\frac{-١}{٦}

ليكن $ق(س) = ه^{س}$ ، $س \in ع$ ، فما العبارة الصحيحة فيما يأتي؟

(علامتان)

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ب) $ق(س)$ متزايد ومقعر للأعلى على مجاله

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $ق(س)$ ، والقاطع $أ ب$ ، حيث: $أ(١ ، ٥)$ ، $ب(٤ ، ق(٤))$ ، ما قيمة $ق(٤)$ ؟

(علامتان)

أ
$١$
ب
$٢$
ج
$٣$
د
$٨$

ب)

إذا كان المستقيم المار بالنقطة $(٠ ، ٣)$ يمس منحنى الاقتران $ق(س) = \frac{ب}{س + ١}$ ، $س \neq -١$ ، عندما $س = ١$ ، فما قيمة الثابت $ب$ ؟

(٦ علامات)

اعرض الإجابة

ق'(س) = −ب/(س + ١)² ⇒ ميل المماس عند س = ١ هو −ب/٤. نقطة التماس (١ ، ب/٢) تقع على المستقيم المار بـ (٠ ، ٣): ميله = (ب/٢ − ٣)/١. ب/٢ − ٣ = −ب/٤ ⇒ ٣ب/٤ = ٣ ⇒ ب = ٤.

ج)

سلك طوله ١٨ سم قسّم الى جزأين، ثني كل منهما على شكل مثلث متساوي الساقين، ما طول ضلع كل من المثلثين لتكون مجموع مساحتيهما أقل ما يمكن؟

(٨ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا علمت أن $ص = ق(س)$ ، وكانت $\frac{دص}{دس} = أ \sqrt{ص}$ ، $أ > ٠$ ، $\frac{د^{٢} ص}{دس^{٢}} = ٣٢$ ، فما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٨$

نشتق $ص'=أ\sqrt{ص}$ بقاعدة السلسلة:

ص''=أ \times \frac{١}{٢\sqrt{ص}} \times ص'=\frac{أ^{٢}}{٢}

. إذن $\frac{أ^{٢}}{٢}=٣٢$ و $أ^{٢}=٦٤$ ، وبما أن $أ>٠$ فإن $أ=٨$ .

إذا كان $ص = لو_{ه} \left( \frac{س^{٢} - ه^{٢}}{س + ١} \right)^{٢}$ ، فما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = ٠$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٢$

نفرض $ع=\frac{س^{٢}-ه^{٢}}{س+١}$ فيكون

ص=لو_{ه}\left(ع^{٢}\right)

حيث $ك(س)=ع^{٢}>٠$ ، ومنه

ص'=\frac{ك'(س)}{ك(س)}=\frac{٢ع ع'}{ع^{٢}}=\frac{٢ع'}{ع}

. عند $س=٠$ : $ع=-ه^{٢}$ و

ع'=\frac{٢س(س+١)-(س^{٢}-ه^{٢})}{(س+١)^{٢}}=ه^{٢}

فيكون

ص'=\frac{٢ه^{٢}}{-ه^{٢}}=-٢

إذا كان $ق(س)$ اقترانا متصلا على $[١ ، ٤]$ وكان $ق''(س) > ٠$ لجميع قيم $س \in ]١ ، ٤[$ ، $ق(س)$ له ثلاث نقاط حرجة فقط في الفترة $[١ ، ٤]$ ، $ق'(٢) = ٠$ ، فما العبارة الصحيحة فيما يلي؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $ق(٢) < ق(٤)$

$ق''(س)>٠$ تعني أن $ق'$ متزايدة، و $ق'(٢)=٠$ فيكون $ق'<٠$ قبل $٢$ و $ق'>٠$ بعدها، فـ $ق(٢)$ أصغر قيمة في $[١،٤]$ ومنه $ق(٢)<ق(٤)$ . وخيار $ق(١)<ق(٢)$ خطأ لأن الاقتران متناقص من $١$ إلى $٢$ .

ب)

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود وكان للاقتران $ق(س)$ نقطة انعطاف أفقي عند النقطة $(١ ، ٢)$ ، وكان $ه(س) = (س - ق(س))^{٣}$ ، فما قيمة $ه''(١)$ ؟

(٦ علامات)

اعرض الإجابة

ق(١) = ٢ ، ق'(١) = ٠ ، ق''(١) = ٠. ه'(س) = ٣(س − ق(س))²(١ − ق'(س)) ه''(س) = ٦(س − ق(س))(١ − ق'(س))² − ٣(س − ق(س))² ق''(س) ه''(١) = ٦(١ − ٢)(١)² − ٣(١ − ٢)²(٠) = −٦.

ج)

إذا كان $نها_{س \to ١} \frac{٢ - س ق(س)}{\frac{س}{٢} - \frac{١}{٢}} = ٤$ ، وكان $ك(س) \times ق(س) = س^{٢}$ ، جد $ك'(١)$ ؟

(٨ علامات)

اعرض الإجابة

بما أن المقام ← ٠ والنهاية = ٤ فالبسط ← ٠: ٢ − ق(١) = ٠ ⇒ ق(١) = ٢. بلوبيتال: (⁦−⁩ق(١) − ق'(١))/(١/٢) = ٤ ⇒ −٢ − ق'(١) = ٢ ⇒ ق'(١) = −٤. ك(س)ق(س) = س² ⇒ ك'(س)ق(س) + ك(س)ق'(س) = ٢س. عند س = ١: ك(١) = ١/٢ ، فـ ٢ك'(١) + (١/٢)(⁦−⁩٤) = ٢ ⇒ ك'(١) = ٢.

السؤال السادس (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ل(س) = ه^{ق(س - \sqrt{س})}$ ، وكان $ق(س)$ اقتران خطي يمر بنقطة الأصل وعمودي على المستقيم $ص = س$ ، ما قيمة $ل'(١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-\frac{١}{٢}$

الاقتران الخطي المار بالأصل والعمودي على $ص=س$ ميله $-١$ ، فـ $ق(س)=-س$ و $ل(س)=ه^{-(س-\sqrt{س})}$ . بالاشتقاق

ل'(١)=ه^{٠} \times \left(-\left(١-\frac{١}{٢}\right)\right)=-\frac{١}{٢}

إذا علمت أن $(ق \circ ه)'(٣) = ١٥$ ، $ق(س) = س^{٢} - ٩$ ، $ه'(٣) = ٥$ ، ما قيمة $ه(٣)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١,٥$

بقاعدة السلسلة:

(ق \circ ه)'(٣)=ق'(ه(٣)) \times ه'(٣)=٢ه(٣) \times ٥=١٥

فـ $١٠ه(٣)=١٥$ أي $ه(٣)=١,٥$ .

يتحرك جسم في خط مستقيم حسب العلاقة $ف(ن) = ن^{٢} + ٣ ن$ ، وكانت سرعته عندما $ن = ٥$ ث تساوي سرعته المتوسطة في الفترة $[٠ ، أ]$ ، فما قيمة / قيم الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١٠$

السرعة اللحظية $ع(ن)=ف'(ن)=٢ن+٣$ فعند $ن=٥$ تساوي $١٣$ . السرعة المتوسطة في $[٠،أ]$ هي $\frac{أ^{٢}+٣أ}{أ}=أ+٣$ ، فيكون $أ+٣=١٣$ و $أ=١٠$ (الصفر لا يصلح لأنه لا يكوّن فترة).

ب)

يمثل الشكل المجاور منحنى كل من $ق(س)$ ، $ك(س)$ ، بين أن الاقتران $ل(س) = \frac{ك'(س)}{ق(س)}$ متناقصاً على $ع^{+}$ .

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = (١ + جتا \pi س)(٢ - جتا \pi س) \left( جا \frac{\pi}{٤ س} \right)^{٣}$ ، جد $ق'\left( \frac{١}{٢} \right)$ .

(٧ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الأولى، الورقة الأولى

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد