ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الصناعي، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الثانية، الصناعي: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٨ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الثانية
الفرع: الصناعي
تاريخ الامتحان: 13 آب 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 18 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

18 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $أ$ ، $ب$ مصفوفتين مربعتين من الرتبة الثانية، بحيث $|أ^{-١}| = -٤$ ، وكان $|٢ب| = ٦٤$ ، ما قيمة $|أ \cdot ب|$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-٤$

بما أن $|أ^{-١}| = \frac{١}{|أ|}$ فإن $|أ| = -\frac{١}{٤}$ . ومن $|٢ب| = ٢^{٢}|ب| = ٦٤$ (رتبة ٢) ينتج $|ب| = ١٦$ ، فيكون

|أ \cdot ب| = |أ| \times |ب| = -\frac{١}{٤} \times ١٦ = -٤

إذا كانت $ص = \frac{أ}{س + ١}$ ، $س > -١$ ، وكان $\frac{دص}{دس}\Big|_{س=٢} = \frac{١}{٣}$ ، فما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٣$

نشتق بقاعدة القسمة: $ص' = \frac{-أ}{(س+١)^{٢}}$ ، وعند $س=٢$ تصبح

\frac{-أ}{٩} = \frac{١}{٣}

فيكون $أ = -٣$ .

إذا كان $ق'(٧س - ٢) = ١ - س^{٧}$ ، فما قيمة $ق''(٥)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-١$

نشتق الطرفين بقاعدة السلسلة: $٧ق''(٧س-٢) = -٧س^{٦}$ ، أي $ق''(٧س-٢) = -س^{٦}$ . وعندما $٧س-٢ = ٥$ يكون $س = ١$ فتكون $ق''(٥) = -١$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = جتاس - أجاس$ ، وكان متوسط التغير للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[\frac{π}{٢} ، π]$ يساوي $\frac{٤}{π}$ ، جد قيمة الثابت $أ$ .

(٧ علامات)

ج)

إذا علمت أن $أ = \begin{bmatrix} ٣ & -١ \\ ٠ & ٢ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ٠ & -١ \\ -٦ & ٥ \end{bmatrix}$ ، جد $(أ)^{٢} - ب + م_{٢}$ .

(٧ علامات)

السؤال الثاني (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

ما قيمة $\lim_{س \to ١} \frac{س - \sqrt{س}}{\sqrt{س} - ١}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $١$

التعويض المباشر يعطي $\frac{٠}{٠}$ ، فنحلل البسط:

س-\sqrt{س} = \sqrt{س}(\sqrt{س}-١)

ونختصر مع المقام فتصبح النهاية $\sqrt{س}$ وقيمتها عند $س=١$ تساوي $١$ .

ما قيمة $\begin{vmatrix} جاس & ١ \\ ٠ & جتاس \end{vmatrix}$ ؟

(علامتان)

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{١}{٢} جا ٢س$

إذا كان $\int_{أ}^{أ + ١} (πس) \, دس = ٢π$ ، ما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{٣}{٢}$

الاقتران الأصلي لـ $\pi س$ هو $\frac{\pi س^{٢}}{٢}$ ، فالتكامل

= \frac{\pi}{٢}[(أ+١)^{٢}-أ^{٢}] = \frac{\pi}{٢}(٢أ+١) = ٢\pi

ومنها $٢أ+١ = ٤$ فيكون $أ = \frac{٣}{٢}$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = \frac{٢}{٣} س^{٣} + \frac{١}{٢} س^{٢} - س + ٧$ ، $س ∈ ح$ ، جد مجالات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$ .

(٦ علامات)

ج)

جد كلا من التكاملات التالية

$\int (٢س + ٣) \sqrt{٣س + س^{٢} - ٥} \, دس$
$\int \frac{ظاس}{جتا^{٢}س} \, دس$

(٨ علامات)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا علمت أن $\int_{١}^{٣} ٢ق(س) \, دس = ١٠$ ، $\int_{١}^{٥} ق(س) \, دس = ١٨$ ، فما قيمة $\int_{٥}^{٣} (٣ + ق(س)) \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-١٩$

من $\int_{١}^{٣}٢ق = ١٠$ نجد $\int_{١}^{٣}ق = ٥$ ، ومن الإضافة $\int_{٣}^{٥}ق = ١٨-٥ = ١٣$ فيكون $\int_{٥}^{٣}ق = -١٣$ . إذن

\int_{٥}^{٣}(٣+ق) = ٣(٣-٥) - ١٣ = -١٩

إذا كانت $أ$ ، $ب$ ، $ج$ ثلاث مصفوفات بحيث $أ_{٣×ل} \cdot ب_{٢×ن} = ج$ ، وكانت $ج$ مصفوفة عمود ، فما قيمة كل من الثابتين $ل$ ، $ن$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٢ ، ١$

عدد أعمدة $أ$ يجب أن يساوي عدد صفوف $ب$ فيكون $ل = ٢$ . والناتج من الرتبة $٣ \times ن$ ، وبما أنه مصفوفة عمود فإن $ن = ١$ .

إذا كان $ق(س) = \frac{١ - س}{س + ٣}$ ، $س \ne -٣$ ، ما قيمة $ق'(١)$ .

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $\frac{-١}{٤}$

بقاعدة القسمة

ق'(س) = \frac{(س+٣)(-١) - (١-س)(١)}{(س+٣)^{٢}} = \frac{-٤}{(س+٣)^{٢}}

وعند $س=١$ تكون

ق'(١) = \frac{-٤}{١٦} = -\frac{١}{٤}

ب)

إذا كان $\begin{vmatrix} س & -١ & ١ \\ ٢ & -٢ & ٣ \\ -٣ & س & ٥ \end{vmatrix} = ١٣$ ، جد قيمة / قيم $س$ .

(٨ علامات)

ج)

إذا كان $ق'(س) = ٣س^{٢} - ٢جاس$ ، وكان $ق(٠) = ٢$ ، جد قاعدة الاقتران $ق(س)$ .

(٦ علامات)

السؤال الرابع (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $[س \quad ٥] \cdot \begin{bmatrix} س \\ ١ \end{bmatrix} = [١ + ٤س]$ ، ما قيمة $س$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٢$

حاصل الضرب هو $[س^{٢}+٥]$ ، فنساويه بـ $[١+٤س]$ فتنتج $س^{٢}-٤س+٤ = ٠$ أي $(س-٢)^{٢}=٠$ ، فتكون $س = ٢$ .

إذا كان $ق(س) = \int (٣س - ٢) \, دس$ ، وكان $ق(١) = ٣$ ، ما قيمة $ق(-١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٧$

ق(س) = \frac{٣س^{٢}}{٢} - ٢س + جـ

ومن $ق(١) = ٣$ نجد $جـ = \frac{٧}{٢}$ . إذن

ق(-١) = \frac{٣}{٢} + ٢ + \frac{٧}{٢} = ٧

إذا كانت $ص = ظاس \, جا ٢س$ ، $س$ زاوية حادة ، ما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = \frac{π}{٤}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٢$

بقاعدة الضرب:

ص' = قا^{٢}س \, جا٢س + ظاس \cdot ٢جتا٢س

. عند $س=\frac{\pi}{٤}$ :

٢ \times ١ + ١ \times ٢ \times ٠ = ٢

ب)

إذا علمت أن $أ = \begin{bmatrix} -٣ & -٢ \\ ٤ & ٢ \end{bmatrix}$ ، جد المصفوفة $ب$ التي تحقق المعادلة $(٢أ)^{-١} + ب = و_{٢}$ .

(٦ علامات)

ج)

قذف جسم رأسيا الى أعلى من قمة برج ارتفاعه ٨٠ م، وكان ارتفاع الجسم عن البرج بالأمتار بعد $ن$ ثانية يعطى بالعلاقة $ف(ن) = ٣٠ن - ٥ن^{٢}$ ، جد

أقصى ارتفاع يصل اليه الجسم عن سطح الأرض.
سرعة ارتطام الجسم بالأرض.

(٨ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

ما قيمة $\frac{د}{دس} \left( \int_{س}^{٢} (٣ص^{٢} - ٦) \, دص \right)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٦ - ٣س^{٢}$

نعكس حدود التكامل فيصبح $-\int_{٢}^{س}(٣ص^{٢}-٦)دص$ ، ومشتقته تساوي مشتقة الاقتران المكامل مضروبة بـ $-١$ : $-(٣س^{٢}-٦) = ٦-٣س^{٢}$ .

إذا كان $ل(س)$ ، $م(س)$ اقترانين أصليين للاقتران المتصل $ق(س)$ ، وكان $\int_{٢}^{٥} (ل(س) - م(س)) \, دس = ١٥$ ، ما قيمة $\int_{٠}^{٢} (م(س) - ل(س)) \, دس$

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-١٠$

الفرق بين اقترانين أصليين ثابت، أي $ل-م = جـ$ ، و $\int_{٢}^{٥}جـ = ٣جـ = ١٥$ فـ $جـ = ٥$ . إذن

\int_{٠}^{٢}(م-ل) = ٢ \times (-٥) = -١٠

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = س^{٢} + س - ٢$ ، عند النقطة $أ(س ، ص)$ يساوي ٧ ، ما إحداثيات نقطة التماس؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $(٣ ، ١٠)$

ميل المماس هو $ق'(س) = ٢س+١ = ٧$ فتكون $س = ٣$ ، و $ص = ق(٣) = ٩+٣-٢ = ١٠$ ، فنقطة التماس $(٣ ، ١٠)$ .

ب)

إذا كانت $ص = ق(ه(\frac{س}{ب}))$ ، وكانت $ص'\Big|_{س=١} = ٢$ ، $ه(\frac{١}{ب}) = \frac{١}{٢}$ ، $ه'(\frac{١}{ب}) = -١$ ، $ق'(\frac{١}{٢}) = ٢$ ، ما قيمة الثابت $ب$ ؟

(٦ علامات)

ج)

جد الاقتران المكامل $ت(س)$ للاقتران $ق(س) = |س - ٣|$ ، المعرف على الفترة $[٠ ، ٤]$ .

(٨ علامات)

السؤال السادس (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = س ه^{-س}$ ، فما الفترة التي يكون فيها الاقتران $ق(س)$ متزايداً عندها؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $]-\infty ، ١]$

ق'(س) = هـ^{-س} - س هـ^{-س} = هـ^{-س}(١-س)

وهي موجبة عندما $س<١$ ، فالاقتران متزايد في $]-\infty ، ١]$ .

إذا كان $ق(س)$ قابلاً للاشتقاق على ح، وكان $\int (ق(س) + ٢) \, دس = س^{٣} + أس^{٢} + أ$ ، وكان $ق'(١) = ٨$ ، فما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١$

$ق(س)+٢$ مشتقة $س^{٣}+أس^{٢}+أ$ ، أي $ق(س)+٢ = ٣س^{٢}+٢أس$ ، فـ $ق'(س) = ٦س+٢أ$ . من $ق'(١) = ٦+٢أ = ٨$ ينتج $أ = ١$ .

إذا كان $ق(س) = لو_{ه} ه^{ك(س)} - لو_{ه}(ه^{س} + س)$ ، وكان $ك'(٠) = ٣$ ، فما قيمة $ق'(٠)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $١$

$لو_{هـ}هـ^{ك(س)} = ك(س)$ ، ومشتقة الحد الثاني $\frac{هـ^{س}+١}{هـ^{س}+س}$ . إذن

ق'(٠) = ك'(٠) - \frac{٢}{١} = ٣-٢ = ١

ب)

دون حساب التكامل، أثبت أن $\int_{١}^{٣} (س^{٢} - ٢س) \, دس \le \int_{١}^{٣} ٢س \, دس$ .

(٥ علامات)

ج)

جد مساحة المنطقة الواقعة في الربع الأول والمحصورة بين منحنيي الاقترانين $ص = ٩ - س^{٢}$ ، $ص = ٨س$ ، ومحور السينات.

(٩ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الصناعي، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد