امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2024، الدورة الثالثة

إذا كان $ق(س) = س ل(س)$ ، وكان $ق(٤) = ٤ق(١) - ٨$ ، أوجد متوسط التغير للاقتران $ل(س)$ في الفترة $[١، ٤]$.

إذا كان $ق(س) = ٤ + س \sqrt{١٢ - س}$ ، $س ≤ ١٢$ ، جد: (١٨ علامة)

1. فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س)$ على مجاله.
2. القيم العظمى والصغرى المحلية للاقتران $ق(س)$ (إن وجدت).

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ \\ ٠ \end{bmatrix}$ ، وكانت $ب$ مصفوفة من الرتبة $٢ × ٢$ ، حيث إن $ب_{ي ه} = \begin{cases} ي - ه & ، ي < ه \\ ٢ & ، ي = ه \\ ي + ه & ، ي > ه \end{cases}$ (١٤ علامة) جد المصفوفة $ج$ ، حيث $ب \cdot ج = أ - ج$ .

عيّن فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران $ق(س) = ه^{س} جاس$ ، $س ∈ ]π، ٢π[$ . (١٧ علامة)

1. دون حساب قيمة التكامل، أثبت أن: $\int_{٠}^{٤} (س^{٢} + ٣) \, دس ≤ \int_{٠}^{٤} (٤س + ٣) \, دس$ . (٦ علامات)
2. جد $\int (س + ٢)(س + ٣)^{٤} \, دس$ . (١٠ علامات)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} -٤ & ٢ \\ -٥ & ٢ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ٦ & -٣ \\ -١ & ٢ \end{bmatrix}$ ، جد $|٢أ - ٣ب|$ .

جد معادلة المماس لمنحنى العلاقة $س^{٢} + ص^{٢} + ١ = ٤س - ص$ عند نقطة تقاطعه مع المستقيم $ص = ٢س - ١$ ، والواقعة في الربع الأول.

حلّ النظام التالي باستخدام قاعدة كريمر: (١٢ علامة) $٣س + ٢ص = ٥$ $ص = ٤ - ٢س$

1. إذا كان $ق(س) = س^{٢} - ٤س$ ، وكانت $σ_{٤}$ تجزئة رباعية منتظمة للفترة $[-٢، ٦]$ ، احسب $م(σ_{٤}، ق)$ ، حيث $س_{ر}^{*} = س_{ر}$ . (١٠ علامات)
2. جد $\int \frac{٣س - ٢}{س^{٢} - س - ٢} \, دس$ . (٨ علامات)

1. إذا كانت $\lim_{س \to ٢} \frac{س ق(س) - ٨}{س^{٢} - ٤} = ١٢$ ، أوجد $ق(٢) + ق'(٢)$ . (٨ علامات)
2. إذا كان $ق(س) = س + \frac{١}{س}$ ، $س ≠ ٠$ ، $ه(س) = جاس$ ، أثبت أن $(ق ∘ ه)'(س) = -ظتا^{٢} س \, جتاس$ . (١٠ علامات)

إذا كان $ت(س) = \begin{cases} ٢س^{٢} + أ & ، ١ ≤ س ≤ ٣ \\ ب س + ج & ، ٣ < س ≤ ٥ \end{cases}$ هو الاقتران المكامل للاقتران المتصل $ق(س)$ في الفترة $[١، ٥]$ ، جد قيم الثوابت $أ$ ، $ب$ ، $ج$ .

إذا كان $ق(٠) = ١$ ، $ق(٢) = -٣$ ، $ق'(٢) = ٠$ ، جد $\int_{٠}^{٢} (س ق(س) ق''(س) + س (ق'(س))^{٢}) \, دس$ (١٢ علامة)

جد أقصر مسافة بين النقطة $أ(٢، ٠)$ ، ومنحنى العلاقة $ص^{٢} - س^{٢} = ٨$ .

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = س^{٢} + ١$ والمستقيم $ص = ٢س$ والواقعة فوق محور السينات في الفترة $[-١، ١]$ . (١٢ علامة)

1. لتكن $أ = \begin{bmatrix} ٣ & ١ & س \\ ٦ & س & ٤ \\ ٥ & ٣ & -١ \end{bmatrix}$ ، جد قيمة / قيم $س$ التي تجعل المصفوفة $أ$ منفردة. (١٠ علامات)
2. من نقطة على سطح الأرض، قذف جسم رأسياً إلى أعلى، وكان ارتفاعه $ف$ بالأمتار بعد $ن$ من الثواني يعطى بالعلاقة: $ف = أ ن - ٥ ن^{٢}$ ، وكان أقصى ارتفاع يصله الجسم ٤٥ م ، جد قيمة الثابت $أ$ ، $أ > ٠$ . (٨ علامات)