امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2023، الدورة الأولى، الورقة الثانية

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند النقطة $(٠، ٢)$ الواقعة عليه يساوي ٣، وكان $ق''(س) = ٣ - ٤س$، فجد قاعدة الاقتران $ق(س)$.

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٤ & ٢ \\ -١ & ٣ \end{bmatrix}$، $ب = \begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ -٥ & ٢ \end{bmatrix}$، جد: $(٢أ - ب)^{-١}$.

جد $\int لو_{ه} \sqrt{س} \, دس$

استخدم تعريف التكامل المحدود في إيجاد قيمة: $\int_{١}^{٣} (٢ - ٦س) \, دس$.

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} ٢س ، & ١ \le س \le ٢ \\ ٣س^{٢} - ٢ ، & ٢ < س \le ٥ \end{cases}$، فجد كلاً مما يلي

1. الاقتران المكامل $ت(س)$
2. $\int_{١}^{٣} ق(س) \, دس$

جد: $\int_{٢}^{٣} \frac{٤س^{٢}}{س^{٢} - ١} \, دس$.

استخدم طريقة جاوس في حل النظام الآتي $س - ص + ٥ع = ٠$ ، $٢س + ص + ع = ٠$ ، $ص - ع = ٤$

إذا كان $ق'(س) = ظاس + ظتاس$، حيث $س \in ]٠، \frac{\pi}{٢}[$ ، وكان $ق(\frac{\pi}{٤}) = -١$ ، فأثبت أن: $ه^{ق(س) + ١} = ظاس$.

إذا كان $ق، ه$ اقترانين بحيث $ه(س) = ٦ - ق(س)$ ، $٢ \int_{١}^{٣} ق(س) \, دس = \int_{١}^{٣} ه(س) \, دس$ ، $\int_{١}^{٢} ه(س) \, دس = -١٥$ فجد كلاً مما يلي

1. $\int_{١}^{٣} ق(س) \, دس$
2. $\int_{٠}^{١} ه(س + ٢) \, دس$

عند حل النظام $ك س + ن ص = ب$ ، $ل س + ع ص = ج$ ، بطريقة كريمر وجد أن $أ_{ص}.أ = \begin{bmatrix} ٢ & -٢ \\ -٢ & ٤ \end{bmatrix}$ ، $أ_{س} = \begin{bmatrix} ٢ & -٤ \\ ٠ & ٣ \end{bmatrix}$ ، $ك ع - ن ل = ٢$ :

1. جِد قيم $س$، $ص$.
2. اكتب نظام المعادلات المذكور في السؤال بعد إيجاد جميع الثوابت.

ليكن كلا من $ق(س)$ ، $ع(س)$ اقترانين موجبين وقابلين للتكامل بحيث $ق'(س) = ق(س) - ع(س)$ ، $ع'(س) = ع(س) - ق(س)$ ، وكان $ق(٠) = ٥$ ، $ع(٠) = ١$ :

1. أثبت أن $(ق + ع)(س) = ٦$
2. جد قاعدة الاقتران $ق(س)$

إذا علمت أن $ق(س) = \frac{ه^{س}}{س^{٢} + ١}$ ، $م(س) = ظتاس$ ، فجد $\int_{\frac{\pi}{٤}}^{\frac{\pi}{٢}} \frac{س ق'(م(س^{٢}))}{جا^{٢}س} \, دس$

دون حساب قيمة التكامل أثبت أن: $٤ \le \int_{١}^{٣} \frac{٢٠}{س^{٢} + ١} \, دس \le ٢٠$

إذا كانت $(أ - ب)^{-١} = \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٥ & ٣ \end{bmatrix}$ ، $(أ + ب)^{-١} = \begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix}$ . جد $(أ . ب)$.

جد $\int \frac{١}{س^{٢} \sqrt{س^{٢} + ١}} \, دس$ ، علماً بأن $س > ٠$