إذا كان ل = ∫₁² ه^(-س) (س² - ٦س + ٩) دس ، فأي العبارات التالية صحيحة؟

لا يمكن تحديد إشارة ل

ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الثانية، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الثانية: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٥ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الثانية
الفرع: العلمي
تاريخ الامتحان: 14 آب 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 15 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

15 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $\begin{vmatrix} س & -٢ \\ ص & ٢ \end{vmatrix} = ٤$ ، فما قيمة $\begin{vmatrix} س & ٢ \\ س - ٤ص & ١٠ \end{vmatrix}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١٦$

من المحدد الأول: $٢س+٢ص=٤$ فـ $س+ص=٢$ . المحدد الثاني

=١٠س-٢(س-٤ص)=٨س+٨ص=٨(س+ص)=١٦

ويمكن أيضاً إخراج العامل المشترك من الصف أو العمود.

إذا كان $م(س)$ ، $ه(س)$ اقترانين أصليين مختلفين للاقتران $ق(س)$ ، وكان $ل(س) = م(س) - ه(س)$ ، فماذا يمثل $\int س \, ل(س) \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) اقتران تربيعي

الاقترانان $م$ و $ه$ أصليان للاقتران نفسه، فالفرق بينهما ثابت: $ل(س)=ج$ ، وبما أنهما مختلفان فإن $ج \neq ٠$ . إذن

\int س\,ل(س)\,دس=\int ج\,س\,دس=\frac{ج\,س^٢}{٢}+جـ

وهو اقتران تربيعي.

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود بحيث $ق'(س) = ٣س - ٢$ ، فما قيمة $ق(٣) - ق(-١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $٤$

ق(٣)-ق(-١)=\int_{-١}^{٣}ق'(س)\,دس=\int_{-١}^{٣}(٣س-٢)\,دس=[\frac{٣}{٢}س^٢-٢س]_{-١}^{٣}=٧٫٥-٣٫٥=٤

ب)

إذا علمت أن $ب = \begin{bmatrix} -٢ & ٠ & ١ \\ ٦ & -٣ & ٠ \end{bmatrix}$ ، وكانت $ج$ مصفوفة بحيث $ب_{يه} = ج_{هي}$ ، جد

المصفوفة $ج$ .
المصفوفة $أ = ب \cdot ج + \begin{bmatrix} \sqrt{٢} & ١ \\ ٠ & -١ \end{bmatrix}$

(٧ علامات)

ج)

ما قيمة $\int \frac{ظا^{٢}س + قا^{٢}س}{قاس \, ظاس} \, دس$ ؟

(٧ علامات)

السؤال الثاني (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $ج = \begin{bmatrix} -٢ & ٣ \\ س & -٥ \end{bmatrix}$ ، $|ج^{-١}| = -\frac{١}{٢}$ ، فما قيمة $س$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٤$

$|ج|=(-٢)(-٥)-٣س=١٠-٣س$ . بما أن

|ج^{-١}|=\frac{١}{|ج|}=-\frac{١}{٢}

فإن $|ج|=-٢$ ، أي $١٠-٣س=-٢$ ومنها $س=٤$ .

ما قيمة $\int \frac{د}{دس} \left( \frac{جاس \, جتاس}{جا ٢س} \right) دس$ ؟

(علامتان)

أ
$\frac{١}{٢}$
ب
$جاس \, جتاس$
ج
$ظتاس$
د
صفر

إذا كانت $ت(س) = \int_{ب}^{س} ق(ص) \, دص = ه^{س} + ه^{-س} + ج$ ، $س \ge ٠$ ، فما قيمة $ج$ ؟

(علامتان)

أ
$-٢ه$
ب
$-٢$
ج
$٢$
د
$٢ه$

ب)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} س & س & ١ \\ ٢ & ٠ & س \\ ١ & ٢ & ١ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ٤ & ٢ \\ ٢ & ٢ \end{bmatrix}$ ، ما قيمة / قيم $س$ التي تجعل $|أ| = |ب|$ ؟

(٦ علامات)

ج)

ما قيمة $\int_{٢ - ه}^{١} \left( \frac{س^{٢} - ١}{٢ - س} \right) دس$ ؟

(٨ علامات)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & ١ & ٣ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -١ & ٠ & -١ \\ -١ & ١ & ٠ \\ ٠ & ١ & ١ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ١ \\ ٠ \\ -١ \end{bmatrix}$ ، فما قيمة $أ_{١١}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٤$

نضرب بالتجميع: $[٢\;١\;٣]$ في المصفوفة الوسطى يعطي $[-٣\;٤\;١]$ ، ثم في العمود $\begin{bmatrix}١\\٠\\-١\end{bmatrix}$ فيكون $-٣+٠-١=-٤$ ، وهو $أ_{١١}$ .

إذا كان $ق(س) = ٢س$ معرفاً على $[١ ، ب]$ ، وكانت $\sigma_{ن}$ تجزئة نونية منتظمة للفترة نفسها، وكانت $م(\sigma_{ن} ، ق) = ٣٥ + \frac{٢٥}{ن}$ ، فما قيمة $ب$ ؟

(علامتان)

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ب) $٦$

ما قيمة $\int_{١}^{٢} (٨ - |س^{٢} - ٩|) \, دس$

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{٤}{٣}$

على $[١،٢]$ يكون $س^٢-٩<٠$ فـ $|س^٢-٩|=٩-س^٢$ ، فيصبح المطلوب

\int_١^٢(س^٢-١)\,دس=[\frac{س^٣}{٣}-س]_١^٢=\frac{٢}{٣}-(-\frac{٢}{٣})=\frac{٤}{٣}

ب)

جد الاقتران المكامل للاقتران $ق(س) = \begin{cases} ٣س^{٢} - ه^{٢} ، & ١ \le س < ه \\ \frac{ه^{٢}}{س} ، & ه \le س \le ٣ \end{cases}$

(٧ علامات)

ج)

جسيم يتحرك وفق القاعدة $ف(ن)$ التي تمثل المسافة التي يبعدها الجسيم بعد $ن$ دقيقة عن نقطة ثابتة، فإذا كانت سرعة الجسيم $ع$ بعد $ن$ دقيقة تعطى بالقاعدة: $ع(ن) = ٢أن + لو_{ه}(ن + ١)$ ، جد قيمة $أ$ ، علما بأنه قطع مسافة ٨ أمتار خلال دقيقة واحدة، وقطع مسافة $(٢٢ + ٦ لو_{ه} ٢)$ مترا خلال أول ٣ دقائق من بدء الحركة.

(٧ علامات)

السؤال الرابع (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $س$ ، $ص$ مصفوفتان من الرتبة $٢ \times ٢$ ، بحيث $٢س + ٣ص = \begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix}$ ، $٣س + ٢ص = \begin{bmatrix} -٢ & ٢ \\ ١ & -٥ \end{bmatrix}$ ، فما هي المصفوفة $ص$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٢ & ٢ \end{bmatrix}$

نضرب الأولى بـ٣ والثانية بـ٢ ونطرح:

٥ص=٣\begin{bmatrix}٢&٣\\٤&٠\end{bmatrix}-٢\begin{bmatrix}-٢&٢\\١&-٥\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}١٠&٥\\١٠&١٠\end{bmatrix}

فـ

ص=\begin{bmatrix}٢&١\\٢&٢\end{bmatrix}

إذا كان $ل = \int_{١}^{٢} ه^{-س} (س^{٢} - ٦س + ٩) \, دس$ ، فأي العبارات التالية صحيحة؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $ل$ عدد حقيقي موجب

على $[١،٢]$ : $هـ^{-س} \ge هـ^{-٢} > ٠$ و $(س-٣)^{٢} \ge ١$ لأن $س-٣ \in [-٢،-١]$ ، فالاقتران المكامل $\ge هـ^{-٢}$ . بخاصية المقارنة

ل \ge \int_{١}^{٢} هـ^{-٢} \, دس = هـ^{-٢}(٢-١)=هـ^{-٢} > ٠

إذن $ل$ عدد حقيقي موجب.

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند أي نقطة عليه يساوي $\frac{١}{\sqrt{س} (\sqrt{س} - ه)}$ ، $س > ه^{٢}$ ، ه : العدد النيبيري، فما قاعدة الاقتران $ق(س)$ علما بأن منحناه يمر بالنقطة $(٤ه^{٢} ، ١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٢ لو_{ه}(\sqrt{س} - ه) - ١$

نفرض $ع=\sqrt{س}-هـ$ فيكون $دع=\frac{دس}{٢\sqrt{س}}$ ، فالتكامل

=٢\int\frac{دع}{ع}=٢لو_{هـ}|\sqrt{س}-هـ|+جـ

. من النقطة $(٤هـ^٢،١)$ : $\sqrt{٤هـ^٢}-هـ=هـ$ و $لو_{هـ}هـ=١$ فـ $٢+جـ=١$ ومنها $جـ=-١$ .

ب)

حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة النظير الضربي: $س - ٢ص - ٣ = -٢$ ، $\frac{١}{٣} ص = س$

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = \frac{أس}{س + ٢}$ اقترانا معرفاً على $[-١ ، ٨]$ ، وكانت $\sigma_{٥} = \{-١ ، ٠ ، ٢ ، ٣ ، ٦ ، ٨\}$ تجزئة للفترة $[-١ ، ٨]$ ، فاحسب قيمة $أ$ علما بأن $م(\sigma_{٥} ، ق) = ٥,٦$ ، معتبرا $س^{*}_{ر} = س_{ر-١}$ ؟

(٧ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $ق(س)$ ، فإذا علمت أن $م_{١} + م_{٢} = ٨$ وحدات مربعة، $\int_{٠}^{-١} ق(س) \, دس = ١$ ، فما قيمة $\int_{-١}^{٣} ق(س) \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٦$

من الشكل: $ق \le ٠$ على $[-١،٠]$ و $ق \ge ٠$ على $[٠،٣]$ . $\int_{٠}^{-١}ق=١$ تعني $\int_{-١}^{٠}ق=-١$ ، فمساحة الجزء تحت المحور $م_{١}=|-١|=١$ ، ومنه $م_{٢}=٨-١=٧=\int_{٠}^{٣}ق$ . بخاصية الإضافة:

\int_{-١}^{٣}ق=\int_{-١}^{٠}ق+\int_{٠}^{٣}ق=-١+٧=٦

إذا كانت $أ$ مصفوفة مربعة ، وكان $أ^{٢} = م$ ، فما قيمة $(أ^{٣} - م)^{٢} - (أ + م)^{٢}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٤أ$

بما أن $أ^٢=م$ فإن $أ^٣=أ\cdot أ^٢=أ\cdot م=أ$ . إذن $(أ^٣-م)^٢=(أ-م)^٢=٢م-٢أ$ و $(أ+م)^٢=٢م+٢أ$ ، والفرق $-٤أ$ .

إذا كان $\int (س \, قاس \, ظاس) \, دس = ق(س) - \int قاس \, دس$ ، فما قاعدة $ق(س)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $س \, قاس$

بالتكامل بالأجزاء نفرض $ق=س$ و $دع=قاس\,ظاس\,دس$ فيكون $ع=قاس$ ، ومنه

\int س\,قاس\,ظاس\,دس=س\,قاس-\int قاس\,دس

فـ $ق(س)=س\,قاس$ .

ب)

عند حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين $س$ ، $ص$ بطريقة كريمر، كانت $أ \cdot أ_{س} = \begin{bmatrix} ٣ & ٣٠ \\ ٢ & ١٩ \end{bmatrix}$ ، $أ_{س} \cdot أ_{ص} = \begin{bmatrix} ١٣ & ١ \\ ٦ & ٠ \end{bmatrix}$ جد قيم كل من $س$ ، $ص$ .

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س)$ ، $ق'(س)$ اقترانين متصلين ، وكان $\int ق'(س) \, دس = ه^{ه^{٢س}} + ج$ ، جد: $\int \left( ٨س + لو_{ه} \frac{ق'(س)}{٢} \right) دس$ .

(٧ علامات)

السؤال السادس (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

ما قيمة $\int \left( \frac{١ + جاس}{جتا^{٢}س} \right) دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $ظاس + قاس + ج$

\frac{١+جاس}{جتا^٢س}=قا^٢س+قاس\,ظاس

فالتكامل $=ظاس+قاس+جـ$ باستخدام قاعدتي $\int قا^٢س\,دس$ و $\int قاس\,ظاس\,دس$ .

لتكن $\sigma_{ن}$ تجزئة منتظمة للفترة $[-٢ ، ٦]$ ، فاذا كانت النسبة بين العنصر الثالث الى العنصر الرابع تساوي $١ : ٣$ ، فما قيمة $ن$ ؟

(علامتان)

أ
$١٢$
ب
$٢٤$
ج
$٦$
د
$١٨$

إذا كانت $٢ \begin{bmatrix} ١ & -٥ \\ ٥ & ٢ \end{bmatrix} + س - م_{٢} = ٣س$ ، فأي من المصفوفات التالية تمثل المصفوفة $س$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\begin{bmatrix} \frac{١}{٢} & -٥ \\ ٥ & \frac{٣}{٢} \end{bmatrix}$

بطرح $س$ من الطرفين:

٢\begin{bmatrix}١&-٥\\٥&٢\end{bmatrix}-م_٢=٢س

فـ

س=\begin{bmatrix}١&-٥\\٥&٢\end{bmatrix}-\frac{١}{٢}م_٢=\begin{bmatrix}\frac{١}{٢}&-٥\\٥&\frac{٣}{٢}\end{bmatrix}

ب)

إذا كان $ق(س)$ اقترانا بحيث $ق(١) = ٤$ ، $ق(٠) = \frac{ق'(١)}{٢} = ١$ ، $ق'(٠) = ٥$ ، فإذا علمت أن $ق''(س) + ق(س) = ٠$ ، جد $\int_{٠}^{١} ه^{س} ق''(س) \, دس$ .

(٧ علامات)

ج)

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س) = س^{٢} + ٣$ ومحور الصادات والمماس المرسوم للاقتران $ق(س)$ عند النقطة $(١ ، ٤)$ .

(٧ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الثانية، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد