ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الأولى، الصناعي، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الأولى، الصناعي: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٨ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الأولى
الفرع: الصناعي
تاريخ الامتحان: 3 تموز 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 18 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

18 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا علمت أن $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ ١ & س \end{bmatrix}$ بحيث $|٢أ| = -٢٠$ ، ما قيمة $س$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٤$

بإخراج العامل ٢ من كل صف يكون $|٢أ|=٤|أ|$ ، و $|أ|=٢س+٣$ ؛ إذن $٤(٢س+٣)=-٢٠$ أي $٢س+٣=-٥$ ومنها $س=-٤$ .

إذا كان المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = جاس + جتاس$ ، $س \in [٠ ، \frac{\pi}{٢}]$ عند النقطة $أ(س ، ص)$ مماساً أفقياً، ما هي إحداثيات نقطة التماس؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $(\frac{\pi}{٤} ، \sqrt{٢})$

ميل المماس يساوي $ق'(س)$ ويكون صفراً للمماس الأفقي: $ق'(س)=جتا س-جا س=٠$ فتكون $س=\frac{π}{٤}$ و

ق=\frac{١}{\sqrt{٢}}+\frac{١}{\sqrt{٢}}=\sqrt{٢}

ما قيمة $\lim_{س \to ٠} \frac{ه^{جاس} - ١}{لو_{ه}(س + ١)}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $١$

بالتعويض المباشر تظهر $\frac{٠}{٠}$ فنطبّق لوبيتال: نشتق البسط $جتا س\,هـ^{جاس}$ والمقام $\frac{١}{س+١}$ فتكون النهاية $\frac{١×١}{١}=١$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = س^{٢} + \frac{١}{س}$ ، $س \neq ٠$ ، جد التغير في الاقتران $ق(س)$ علما بأن $س_{١} = ٢$ ، $\Delta س = ٢$ .

(٦ علامات)

ج)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & ٥ \\ -١ & ٤ \\ ٠ & ٣ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ٢ & ٠ \\ ٥ & ٣ \end{bmatrix}$ ، جد $(أ . ب) - ٢أ$ .

(٨ علامات)

السؤال الثاني (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $\int_{٠}^{١} (أ - ١) س \, دس = ٢$ ، ما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $٥$

الاقتران الأصلي لـ $(أ-١)س$ هو $(أ-١)\frac{س^{٢}}{٢}$ ، فالتكامل $=\frac{أ-١}{٢}=٢$ ومنها $أ-١=٤$ و $أ=٥$ .

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ١ & -١ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} -١ \\ ١ \end{bmatrix}$ ، ما قيمة $|أ . ب|$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-٢$

الضرب

[١\ \ -١]\begin{bmatrix} -١ \\ ١ \end{bmatrix}=[-٢]

مصفوفة من الرتبة ١×١، ومحددها يساوي مدخلتها الوحيدة $-٢$ .

ما الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران $ق(س) = س^{٣} + ١٢ س^{٢} + ٥$ متناقصاً؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $[-٨ ، ٠]$

$ق'(س)=٣س^{٢}+٢٤س=٣س(س+٨)$ ، وتكون سالبة بين $-٨$ و $٠$ ، فالاقتران متناقص في $[-٨ ، ٠]$ .

ب)

عين مجالات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س) = \frac{١}{٣} س^{٣} - \frac{١}{٢} س^{٢} + ١$ ، $س \in ح$ .

(٦ علامات)

ج)

جد كلا من التكاملات التالية

$\int \frac{جاس}{قتا ٢س} \, دس$
$\int (س + ١) \sqrt{س^{٢} + ٥ + ٢س} \, دس$

(٨ علامات)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كانت $ص = ه^{\sqrt{أ} س}$ ، وكانت $ص' = ص$ ، ما قيمة الثابت $أ$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١$

ص'=\sqrt{أ}\,هـ^{\sqrt{أ}س}=\sqrt{أ}\,ص

فالشرط $ص'=ص$ يعطي $\sqrt{أ}=١$ ومنها $أ=١$ .

إذا كان الاقتران $ق(س) = \frac{س}{\sqrt{س + ١}}$ ، $س > -١$ ، ما قيمة $ق'(٠)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١$

بقاعدة القسمة

ق'(٠)=\frac{م(٠)×ك'(٠)-ك(٠)×م'(٠)}{(م(٠))^{٢}}

حيث $ك(٠)=٠$ و $م(٠)=١$ ، فتساوي $\frac{١×١-٠}{١}=١$ .

إذا كان $ص = س \, لو_{ه} س$ ، جد $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = ه$ .

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٢$

بقاعدة الضرب

\frac{دص}{دس}=س×\frac{١}{س}+لو_{هـ}س=١+لو_{هـ}س

وعند $س=هـ$ تساوي $١+١=٢$ .

ب)

جد قيمة/ قيم $س$ التي تجعل المصفوفة $أ = \begin{bmatrix} -٢ & ٠ & س \\ ١ & س & -٣ \\ -١ & ١ & ١ \end{bmatrix}$ منفردة.

(٧ علامات)

ج)

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند النقطة $(١ ، ٨)$ يساوي ٤، وكانت $ق''(س) = ١٢ س - ٢$ ، جد قاعدة الاقتران $ق(س)$ .

(٧ علامات)

السؤال الرابع (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

أي المصفوفات التالية ليس لها نظير ضربي؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $\begin{bmatrix} ١ & ٥ \\ ٤ & ٢٠ \end{bmatrix}$

المحدد

|\begin{bmatrix} ١ & ٥ \\ ٤ & ٢٠ \end{bmatrix}|=٢٠-٢٠=٠

فهي منفردة ولا نظير لها، أما محددات الباقية فغير صفرية.

أي الاقترانات التالية يعتبر اقترانا أصلياً للاقتران $ق(س) = \frac{٤ س^{٣} + ٢ ه^{٢س}}{س^{٤} + ه^{٢س}}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $لو_{ه}(س^{٤} + ه^{٢س})$

البسط $٤س^{٣}+٢هـ^{٢س}$ هو مشتقة المقام $س^{٤}+هـ^{٢س}$ ، فالتكامل

\int\frac{ق'}{ق}=لو_{هـ}|ق(س)|

أي $لو_{هـ}(س^{٤}+هـ^{٢س})$ .

إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[-١ ، ٢]$ يساوي (٥)، وكان متوسط تغير نفس الاقتران في الفترة $[٢ ، ٤]$ يساوي $(-٣)$ ، فما قيمة التغير في الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[-١ ، ٤]$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٩$

التغير $Δص=$ متوسط التغير $×Δس$ : في $[-١ ، ٢]$ يساوي $٥×٣=١٥$ وفي $[٢ ، ٤]$ يساوي $-٣×٢=-٦$ ، فالتغير الكلي $١٥-٦=٩$ .

ب)

قُذف جسم رأسياً إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض وكان ارتفاعه عن سطح الأرض ف بالأقدام بعد ن ثانية يعطى بالعلاقة $ف(ن) = ٩٦ ن - ١٦ ن^{٢}$ ، جد المسافة الكلية المقطوعة خلال الثواني الأربعة الأولى.

(٧ علامات)

ج)

اثبت بدون حساب قيمة التكامل أن $\int_{١}^{٢} (س^{٢} + ٢) \, دس \le \int_{١}^{٢} (٤س - ١) \, دس$ .

(٧ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $\int_{٣م + ١}^{٢ + ٥م} ٤ \, دس = ٣٦$ ، فما قيمة الثابت $م$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٤$

حسب $\int_{أ}^{ب}ك\,دس=ك(ب-أ)$ :

٤[(٢+٥م)-(٣م+١)]=٤(٢م+١)=٣٦

فتكون $٢م+١=٩$ و $م=٤$ .

إذا كانت $\begin{bmatrix} ٧ & ١ \\ ١ & ٥ \end{bmatrix} - ٢س = \begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٣ & ٧ \end{bmatrix}$ ، فما المصفوفة $س$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\begin{bmatrix} ٢ & -٢ \\ -١ & -١ \end{bmatrix}$

$٧-٢س_{١١}=٣$ ومنها $س_{١١}=٢$ ، و $١-٢س_{١٢}=٥$ فـ $س_{١٢}=-٢$ ، وبالمثل $س_{٢١}=-١$ و $س_{٢٢}=-١$ ؛ إذن

س=\begin{bmatrix} ٢ & -٢ \\ -١ & -١ \end{bmatrix}

إذا كانت $ق(س) = س^{٢} - س$ ، $ه(س) = ١ - س$ ، ما قيمة $(ق \circ ه)'(١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $١$

(ق\circ ه)'(١)=ق'(ه(١))×ه'(١)=ق'(٠)×(-١)

و $ق'(٠)=٢(٠)-١=-١$ ، فالناتج $(-١)(-١)=١$ .

ب)

إذا كان $ت(س) = \begin{cases} أ س - ٣ & ، ١ \le س \le ٢ \\ ب س^{٢} - ٢ س + ١ & ، ٢ \le س \le ٦ \end{cases}$ ، هو الاقتران المكامل للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ٦]$ ، فما قيمة كل من الثابتين $أ$ ، $ب$ ؟

(٦ علامات)

ج)

إذا كانت $ص = لو_{ه}(قاس + ظاس)$ ، أثبت أن $(ص')^{٢} + ص'' = قاس \, ه^{ص}$ .

(٨ علامات)

السؤال السادس (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $\int_{١}^{٥} ق(س) \, دس = ٨$ ، فما قيمة $\int_{١}^{٥} (٣ ق(س) - ٢) \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $١٦$

\int_{١}^{٥}(٣ق-٢)\,دس=٣\int ق-\int_{١}^{٥}٢\,دس=٣(٨)-٢(٥-١)=٢٤-٨=١٦

إذا كانت $س = \begin{bmatrix} -١ & -١ \\ ٣ & ٢ \end{bmatrix}$ ، $ص^{-١} = \begin{bmatrix} ٢ & ٢ \\ -١ & -٣ \end{bmatrix}$ ، ما هي المصفوفة التي تساوي $(س . ص)^{-١}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\begin{bmatrix} -٢ & ٠ \\ ٧ & ٢ \end{bmatrix}$

$(س.ص)^{-١}=ص^{-١}.س^{-١}$ ، و $|س|=١$ فـ

س^{-١}=\begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ -٣ & -١ \end{bmatrix}

والناتج $\begin{bmatrix} -٢ & ٠ \\ ٧ & ٢ \end{bmatrix}$ .

إذا كان $ق(س) = ه^{٣س} + لو_{ه}(٢س + ٢)$ ، ما قيمة $ق'(٠)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $٤$

ق'(س)=٣هـ^{٣س}+\frac{٢}{٢س+٢}

وعند $س=٠$ : $٣+١=٤$ .

ب)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -٥ \\ -١ & -٤ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ١ & -١ \\ -٣ & ٠ \end{bmatrix}$ ، وكان $٢س + (أ - ب)^{-١} = س + و_{٢}$ ، جد المصفوفة $س$ .

(٧ علامات)

ج)

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي $ق(س) = س^{٢}$ ، $ك(س) = ٤س - س^{٢}$ .

(٧ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الأولى، الصناعي، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد