ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2022، الدورة الثالثة، الصناعي، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2022، الدورة الثالثة، الصناعي: ٢٧ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٤ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2022
الدورة: الدورة الثالثة
الفرع: الصناعي
تاريخ الامتحان: 3 كانون الأول 2022
عدد الأسئلة: 27

الإجابة الصحيحة تحت 14 سؤالاً من 27. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

14 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (30 علامة)يتكون هذا السؤال من (١٥) فقرة من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، اختر رمز الإجابة الصحيحة، ثم ضع إشارة (×) في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = س^{٢} + |٥ - س|$ ، فما متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٠ ، ٤]$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٣$

ق(٤) = ١٦ + ١ = ١٧ و ق(٠) = ٠ + ٥ = ٥، وبحسب قانون متوسط التغير فإن

\frac{Δص}{Δس} = \frac{١٧ - ٥}{٤ - ٠} = ٣

. أما $\frac{٢١}{٤}$ فتنتج عن خطأ في حساب $|٥ - س|$ عند الطرفين.

إذا كان $ق(س) \times ه(س) = ٤$ ، وكان $ق(١) = ٢$ ، $ق'(١) = ٥$ ، فما قيمة $ه'(١)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٥$

ناتج الضرب ثابت (٤) فمشتقته صفر، وبقاعدة الضرب:

ق(١) \times ه'(١) + ه(١) \times ق'(١) = ٠

. ومن $ق(١) \times ه(١) = ٤$ ينتج $ه(١) = ٢$ ، فيكون $٢ه'(١) + ٢ \times ٥ = ٠$ ومنها $ه'(١) = -٥$ .

إذا كان $ق(س^{٢} + ٢س - ٢) = \sqrt{س + ٣}$ ، $س > -٣$ ، فما قيمة $ق'(١)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{١}{١٦}$

نشتق الطرفين بقاعدة السلسلة:

ق'(س^{٢} + ٢س - ٢) \times (٢س + ٢) = \frac{١}{٢\sqrt{س + ٣}}

. عند $س = ١$ يكون $س^{٢} + ٢س - ٢ = ١$ ، فنحصل على

ق'(١) \times ٤ = \frac{١}{٤}

ومنها $ق'(١) = \frac{١}{١٦}$ .

قذف جسم رأسياً إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض، بحيث يتحدد بعده عن سطح الأرض بالعلاقة $ف(ن) = ٢٠ن - ٥ن^{٢}$ ، حيث ف: ارتفاع الجسم بالأمتار، ن: الزمن بالثواني، فما أقصى ارتفاع يصله الجسم؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٢٠$

أقصى ارتفاع قيمة عظمى، فنجعل المشتقة صفراً: $ف'(ن) = ٢٠ - ١٠ن = ٠$ ومنها $ن = ٢$ ثانية. وبالتعويض $ف(٢) = ٤٠ - ٢٠ = ٢٠$ متراً، والمشتقة الثانية $-١٠$ سالبة فهي قيمة عظمى.

إذا كان $ق(س) = س^{٢} - ٤س + ٥$ ، فما معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند $س = ٣$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $٢ص + س - ٧ = ٠$

$ق'(س) = ٢س - ٤$ فميل المماس عند $س = ٣$ يساوي ٢، وميل العمودي عليه $\frac{-١}{٢}$ ، والنقطة $(٣، ٢)$ لأن $ق(٣) = ٢$ . فالمعادلة

ص - ٢ = -\frac{١}{٢}(س - ٣)

أي $٢ص + س - ٧ = ٠$ .

إذا كان $ص = ظتاس + قتاس$ ، فما قيمة $\frac{ص'}{ص}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-قتاس$

مشتقة $ظتاس$ هي $-قتا^{٢} س$ ومشتقة $قتاس$ هي $-قتاس ظتاس$ ، فيكون $ص' = -قتاس(قتاس + ظتاس)$ أي $ص' = -قتاس \times ص$ ، ومنها $\frac{ص'}{ص} = -قتاس$ .

إذا كان $\begin{vmatrix} س & ٤ \\ ١ & س \end{vmatrix} = ٥$ ، وكانت $س > ٠$ ، فما قيمة $س$ ؟

أ
$١$
ب
$٢$
ج
$٣$
د
$\frac{٩}{٢}$

إذا كانت $أ + م_{٢} = \begin{bmatrix} ٤ & -١ \\ -٢ & ٢ \end{bmatrix}$ ، فما هي المصفوفة التي تمثل $أ^{-١}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\begin{bmatrix} ١ & ١ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$

$م_{٢}$ المصفوفة المحايدة، فتكون

أ = \begin{bmatrix} ٣ & -١ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}

ومحددها $٣ - ٢ = ١$ . نبدّل مدخلات القطر الرئيسي ونغيّر إشارة مدخلات القطر الآخر ثم نضرب بمقلوب المحدد فينتج

أ^{-١} = \begin{bmatrix} ١ & ١ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}

إذا كان $\int_{١}^{٤} ب \, ق'(س) \, دس = ٢٠$ ، وكان $ق(١) + ٥ = ق(٤)$ ، فما قيمة الثابت $ب$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٤$

$ق(س)$ اقتران أصلي للاقتران $ق'(س)$ ، فيخرج الثابت $ب$ من التكامل، وبالنظرية الأساسية

\int_{١}^{٤} ق'(س) دس = ق(٤) - ق(١) = ٥

ومنها $ب = ٤$ .

إذا كان $م(س)$ اقتراناً اصلياً للاقتران $ق(س) = ١ + \frac{٢}{س^{٣}}$ حيث $س \neq ٠$ ، فما الاقتران الذي يمثل $م(س)$ من الآتية؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\frac{س^{٣} - ١}{س^{٢}} + ج$

نكتب $ق(س) = ١ + ٢س^{-٣}$ ونجد الاقتران الأصلي:

م(س) = س - س^{-٢} + جـ = س - \frac{١}{س^{٢}} + جـ

. وبتوحيد المقامات يساوي $\frac{س^{٣} - ١}{س^{٢}} + جـ$ ، ومشتقته تعيد $ق(س)$ .

عرض باقي الأسئلة (١٧)

إذا كانت $ع = \begin{bmatrix} ١ & ٣ & -٢ \\ -٣ & ٤ & ٣ \end{bmatrix}$ ، فما قيمة $٤ع_{١٣} - ٥ع_{٢١}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٧$

المدخلة $ع_{ي هـ}$ تقع في الصف ي والعمود هـ، فـ $ع_{١٣}$ في الصف الأول والعمود الثالث وتساوي $-٢$ ، و $ع_{٢١}$ في الصف الثاني والعمود الأول وتساوي $-٣$ . إذن

٤(-٢) - ٥(-٣) = -٨ + ١٥ = ٧

إذا كانت $س = \begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ ، $ص = \begin{bmatrix} -٥ & ٢ \\ -٣ & ٠ \end{bmatrix}$ ، فما المصفوفة $س . ص$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $\begin{bmatrix} -١ & ٤ \\ ٢ & -٢ \end{bmatrix}$

كل مدخلة في الناتج هي مجموع حاصل ضرب مدخلات صف من س بمدخلات عمود من ص. الصف الأول: $٢(-٥) + (-٣)(-٣) = -١$ و $٢(٢) + (-٣)(٠) = ٤$ . الصف الثاني: $(-١)(-٥) + ١(-٣) = ٢$ و $(-١)(٢) + ١(٠) = -٢$ .

ما $\lim_{س \to ٠} \frac{ه^{س} - جتاس}{جاس + س}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{١}{٢}$

التعويض المباشر يعطي $\frac{٠}{٠}$ لأن $ه^{٠} - جتا٠ = ٠$ و $جا٠ + ٠ = ٠$ ، فنطبق قاعدة لوبيتال:

\lim \frac{ه^{س} + جاس}{جتاس + ١} = \frac{١ + ٠}{١ + ١} = \frac{١}{٢}

إذا كان $ق(س) = \int_{١}^{س} \frac{ص}{ص^{٢} + ١} \, دس + \int_{١}^{٤} جا^{٢}س \, دس$ ، فما قيمة $ق'(٤)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $\frac{٤}{١٧}$

التكامل الثاني من ١ إلى ٤ عدد ثابت فمشتقته صفر، وبالنظرية الأساسية مشتقة التكامل الأول هي الدالة داخله:

ق'(س) = \frac{س}{س^{٢} + ١}

. إذن

ق'(٤) = \frac{٤}{١٦ + ١} = \frac{٤}{١٧}

ما ناتج $\int \frac{س^{٢} + ٥}{س^{٣} + ٥س} \, دس$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $لو_{ه} |س| + ج$

نحلل البسط والمقام:

\frac{س^{٢} + ٥}{س(س^{٢} + ٥)} = \frac{١}{س}

فيكون التكامل

\int \frac{١}{س} دس = لو_{هـ} |س| + جـ

. أما الخيار $لو_{هـ} |س^{٣} + ٥س|$ فمشتقته $\frac{٣س^{٢} + ٥}{س^{٣} + ٥س}$ لا تساوي الدالة المعطاة.

السؤال الثاني (20 علامة)أ)

جد $\int س^{٢}(س - ١)^{١٠} \, دس$ . (١١ علامة)

ب)

عيّن فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران $ق(س) = س(س - ٣)^{٢}$ .

(٩ علامات)

السؤال الثالث (20 علامة)أ)

إذا كان $\int_{٢}^{٥} ق(س) \, دس = ٣$ ، فما قيمة $\int_{١}^{٢} (٢س \, ق(س^{٢} + ١) - ٤س) \, دس$ ؟

(٩ علامات)

ب)

إذا كانت $أ$ مصفوفة مربعة وغير منفردة من الرتبة الثانية، وكانت $أ . \begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ ٣ & -٤ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -٤ & ٣ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}$ ، جد المصفوفة $٢(أ^{-١})$ . (١١ علامة)

السؤال الرابع (15 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من أربعة أسئلة وعلى المشترك أن يجيب عن سؤالين فقط.أ)

إذا كان $ق'(س) = ٢ - ٣\sqrt{س}$ ، فما قاعدة الاقتران $ق(س)$ علماً أن منحناه يمر بالنقطة $(٤ ، ١)$ ؟

(٨ علامات)

ب)

ما قيمة $س$ التي تجعل $\begin{vmatrix} س & -١ & س \\ ٤ & ٣ & ٢ \\ -٥ & ٠ & -٣ \end{vmatrix} = -١٤$ ؟

(٧ علامات)

السؤال الخامس (15 علامة)أ)

إذا كان $ت(س) = \begin{cases} ٢ب س - ٣ج & ، -١ \le س \le ١ \\ ٢س + ١٠ & ، ١ < س \le ٤ \end{cases}$ هو الاقتران المكامل للاقتران $ق(س)$ ، فما قيم الثابتين $ب$ ، $ج$ ؟

(٧ علامات)

ب)

ما معادلة المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{س^{٢} + ٤}{س - ٢}$ ، $س \neq ٢$ عندما $س = -٢$ ؟

(٨ علامات)

السؤال السادس (15 علامة)أ)

إذا كان $ق(س) = ظاس$ ، $ه(س) = س^{٢} - ٤$ ، فما قيمة $(ق \circ ه)'(٢)$ ؟

(٦ علامات)

ب)

إذا كانت $ع = \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٣ & -١ \end{bmatrix}$ ، وكان $ع^{٢} + أع + ب م_{٢} = و_{٢}$ ، فما قيمة كل من الثابتين $أ$ ، $ب$ ؟

(٩ علامات)

السؤال السابع (15 علامة)أ)

إذا كان $\int (٢س + ق'(س)) \, دس = ٣س^{٢} - ٢ب س + ٣$ ، وكان $ق(٢) = ٥$ ، $ق'(٢) = ٦$ ، فما قيمة $ق(٣)$ ؟

(٩ علامات)

ب)

احسب $\int_{٠}^{\frac{\pi}{٤}} (جتا^{٤}س - جا^{٤}س) \, دس$ .

(٦ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2022، الدورة الثالثة، الصناعي، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد