ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثالثة، الصناعي

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الثالثة، الصناعي: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، ومفتاح الإجابة غير منشور بعد. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الثالثة
الفرع: الصناعي
تاريخ الامتحان: 6 كانون الأول 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 14 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

14 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كان $ق'(س) = \frac{١}{١ + س^{٢}}$ ، $ه(س) = ظاس$ ، فما قيمة $(ق ∘ ه)'(س)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١$

حسب قاعدة السلسلة

(ق ∘ ه)'(س) = ق'(ه(س)) × ه'(س) = \frac{١}{١ + ظا^{٢}س} × قا^{٢}س

وبما أن $١ + ظا^{٢}س = قا^{٢}س$ فالناتج $١$ .

إذا كانت $ق''(س) = س^{٣} + بس^{٢} - ٩س$ ، ما قيمة الثابت $ب$ التي تجعل $ق''(-١) = ٠$

(علامتان)

أ
$-٤$
ب
$-٣$
ج
$٣$
د
$٦$

ما مجموعة قيم $س$ التي تجعل $\begin{bmatrix} س & ١ \\ ٦ & ٢ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ س^{٢} + س & ٢ \end{bmatrix}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\{٢\}$

تتساوى المصفوفتان إذا تساوت مدخلاتهما المتناظرة: من المدخلة الأولى $س = ٢$ ، ومن الثالثة $س^{٢} + س = ٦$ أي $س = ٢$ أو $-٣$ ، والقيمة المشتركة هي $٢$ فقط.

ب)

إذا كان $ق(س) = \frac{٣}{س} + س^{٢}$ ، جد متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ عندما $س_{١} = ٤$ ، $Δس = -٣$

(٦ علامات)

ج)

أجد قيمة كل من المحددات التالية

$\begin{vmatrix} -٤ & ٣ & ٢ \\ ٦ & ٥ & ١ \\ -٤ & ٣ & ٢ \end{vmatrix}$
$|٥م_{٣}|$

(٨ علامات)

السؤال الثاني (20 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س)$ اقترانا متصلا وكان $\int ق(س) \, دس = س^{٣} - ٣س + ٥$ ، فما قيمة $ق(\sqrt{٢}) + ق'(١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٩$

بما أن $ق$ متصل فإن

ق(س) = \frac{د}{دس}(س^{٣} - ٣س + ٥) = ٣س^{٢} - ٣

فـ $ق(\sqrt{٢}) = ٣$ . ثم $ق'(س) = ٦س$ فـ $ق'(١) = ٦$ ، والمجموع $٩$ .

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} -٤ & ٣ \\ ٣ & ٧ \end{bmatrix}$ ، أي من المصفوفات التالية تساوي $٣(أ + ب) - ب$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\begin{bmatrix} -٢ & ٣ \\ ٢١ & ١٧ \end{bmatrix}$

$٣(أ + ب) - ب = ٣أ + ٢ب$ لأن $ك(أ + ب) = كأ + كب$ . إذن

\begin{bmatrix} ٦ & -٣ \\ ١٥ & ٣ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -٨ & ٦ \\ ٦ & ١٤ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -٢ & ٣ \\ ٢١ & ١٧ \end{bmatrix}

إذا كان $ق(س) = س × ه(٣س - ٤)$ ، وكان $ق(٢) = ١٢$ ، $ه'(٢) = ٢$ ، فما قيمة $ق'(٢)$ ؟

(علامتان)

أ
$٢٤$
ب
$١٦$
ج
$٤$
د
$١٢$

ب)

إذا كان $ص = أس^{٥} + \frac{٥}{س^{٤}}$ ، $س ≠ ٠$ ، $أ ∈ ح$ ، أثبت أن $ص'' = \frac{٢٠ ص}{س^{٢}}$

(٦ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} ٣س^{٢} & ، -١ \le س \le ٢ \\ ٤س + ٢ & ، ٢ < س \le ٤ \end{cases}$ ، جد الاقتران المكامل $ت(س)$

(٨ علامات)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

ما قيمة $\int قتا^{٤}س ظتاس \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{-١}{٤} قتا^{٤}س + ج$

نفرض $ع = قتا س$ فيكون $دع = -قتا س ظتا س \, دس$ ، فيصبح التكامل

-\int ع^{٣} \, دع = \frac{-١}{٤} ع^{٤} + جـ = \frac{-١}{٤} قتا^{٤}س + جـ

إذا كان $\int_{٢}^{٥} (٧ + ق(س)) \, دس = ٣٠$ و كان $\int_{٢}^{٣} ق(س) \, دس = ٦$ ، فما قيمة $\int_{٥}^{٣} ٢ق(س) \, دس$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٦$

من الأول

٧(٣) + \int_{٢}^{٥} ق = ٣٠

فـ $\int_{٢}^{٥} ق = ٩$ ، ومنه

\int_{٣}^{٥} ق = ٩ - ٦ = ٣

. وبعكس الحدين

\int_{٥}^{٣} ٢ق = -٢ × ٣ = -٦

إذا كان $ق(س) = ٥$ ، فما هي مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س)$ ومحور السينات في الفترة $[-١ ، ١]$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١٠$

المساحة

= \int_{-١}^{١} |٥| \, دس = ٥ × (١ - (-١)) = ١٠

وحدات مربعة، وليست $٥$ لأن طول الفترة $٢$ .

ب)

جد النقطة / النقط على منحنى العلاقة $\sqrt{س} + \sqrt{ص} = ٣$ ، والتي يكون عندها المماس لمنحنى العلاقة عمودياً على المستقيم $٢ص - س = ٥$

(٨ علامات)

ج)

جد $\int_{٠}^{١} (س^{٢} - ٢س)(س - ١)^{٥} \, دس$

(٦ علامات)

السؤال الرابع (20 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٣ & ١ \\ ٤ & ٢ \end{bmatrix}$ ، فما قيمة $أ^{-١}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\begin{bmatrix} ١ & \frac{-١}{٢} \\ -٢ & \frac{٣}{٢} \end{bmatrix}$

$|أ| = ٣×٢ - ١×٤ = ٢$ . نبدّل مدخلات القطر الرئيسي ونغيّر إشارة القطر الآخر ثم نضرب بـ $\frac{١}{٢}$ :

أ^{-١} = \frac{١}{٢}\begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ -٤ & ٣ \end{bmatrix}

وهو الخيار الأخير.

إذا كان $ق(س) = لو_{ه}(جتاس)$ معرفا على الفترة $]٠ ، \frac{π}{٣}[$ ، ما ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عندما $س = \frac{π}{٤}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-١$

ق'(س) = \frac{-جاس}{جتاس} = -ظاس

لأن مشتقة $لو_{هـ} ك(س)$ هي $\frac{ك'(س)}{ك(س)}$ ، وعند $س = \frac{π}{٤}$ يكون $-ظا\frac{π}{٤} = -١$ .

إذا كان $ق(س) = ٤س^{٣}$ معرفا في الفترة $[-٢ ، ٤]$ ، فما قيمة $ت(١) + ٢ت(-٢)$ ؟

(علامتان)

أ
صفر
ب
$٦$
ج
$-١٥$
د
$٤$

ب)

إذا كانت $ق(س) = \int (٦س^{٢} - ٤) \, دس$ ، وكان $ق(٢) = ١٨$ فما قيمة $ق(-٢)$ ؟

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = ه^{-(س - ٢)^{٢}}$ ، $س ∈ ح$ ، جد فترات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$ .

(٧ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} س^{٢} - ٣ & ، -١ < س \le ٢ \\ ٣ - س & ، ٢ < س < ٣ \end{cases}$ ، ما الفترة التي يكون عندها الاقتران $ق(س)$ متزايدا فيها؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $]٠ ، ٢[$

على $]-١ ، ٢]$ المشتقة $٢س$ موجبة عندما $س > ٠$ فيتزايد في $]٠ ، ٢[$ . أما $٣ - س$ فمشتقته $-١ < ٠$ فهو متناقص في $]٢ ، ٣[$ .

إذا بدء جسم التحرك في خط مستقيم من نقطة الأصل مبتعدا عنها وكانت سرعته في أي لحظة تعطى بالعلاقة $ع(ن) = ٣ن^{٢} + ٢ن$ ، فما بعد الجسم عن نقطة الأصل بعد ثانيتين من بدء الحركة؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١٢$

البعد هو تكامل السرعة:

ف(ن) = \int (٣ن^{٢} + ٢ن) \, دن = ن^{٣} + ن^{٢} + جـ

وبما أن الجسم يبدأ من الأصل فـ $جـ = ٠$ ، وعند $ن = ٢$ يكون $ف = ٨ + ٤ = ١٢$ .

إذا كان $ص = لو_{ه}(س^{٢})$ ، فما قيمة $ه^{ص} × \frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٢$

$ص = ٢ لو_{هـ} س$ فـ $ص' = \frac{٢}{س}$ و $ص'' = \frac{-٢}{س^{٢}}$ ، وبما أن $هـ^{ص} = س^{٢}$ فالناتج $-٢$ (كما في مثال الكتاب).

ب)

جد $\int \left( \frac{١ + \sqrt{س + ١}}{\sqrt{س + ١}} \right) \, دس$

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = أجاس$ ، $ه(س) = \frac{٣س}{س^{٢} + ١}$ ، جد قيمة الثابت $أ$ التي تجعل $(ه ∘ ق)'(\frac{π}{٦}) = ٠$ ، $أ ≠ ٠$ .

(٧ علامات)

السؤال السادس (20 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة

ما قيمة $\int \frac{د}{دس} \left( \frac{جاس جتاس}{س جا٢س} \right) \, دس$ ، $س > ٠$ ؟

(علامتان)

أ
$\frac{١}{٢س}$
ب
$\frac{١}{٢} لو_{ه} س + ج$
ج
صفر
د
$\frac{١}{س} + ج$

إذا كانت $ص = س^{٢} + ه^{س} - ٣$ ، فما قيمة أو قيم $س$ التي تجعل $ص' = ص$

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٣ ، -١$

مشتقة $هـ^{س}$ هي $هـ^{س}$ ، فـ $ص' = ٢س + هـ^{س}$ . بوضع $ص' = ص$ يبقى $٢س = س^{٢} - ٣$ أي $(س - ٣)(س + ١) = ٠$ فـ $س = ٣$ أو $-١$ .

إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ٥]$ يساوى $(٣)$ ، وكان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٥ ، ١٣]$ يساوى $(-٣)$ ، فما قيمة متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ١٣]$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-١$

التغير الكلي $= ٣ × ٤ + (-٣) × ٨ = -١٢$ لأن التغير = المتوسط × طول الفترة، وطول الفترة $[١ ، ١٣]$ هو $١٢$ ، فالمتوسط $\frac{-١٢}{١٢} = -١$ .

ب)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} س & ٠ \\ ١ & ١ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix}$ ، جد مجموعة قيم $س$ التي تجعل $أ^{٢} = ب$

(٧ علامات)

ج)

إذا كانت $\lim_{س \to ٢} \left( \frac{٦ - \frac{س}{ق(س)}}{لو_{ه}(س - ١)^{٢}} \right) = \frac{١}{٢}$ ، جد $ق(٢)$ ، $ق'(٢)$ ؟

(٧ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثالثة، الصناعي

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد