ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الأولى، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الأولى: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٥ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الثانية
الفرع: العلمي
تاريخ الامتحان: 13 آب 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 15 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

15 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ق(٢ س) = (٢ - س)^{-١}$ ، $س \neq ٢$ ، فما قيمة $ق'(١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $\frac{٢}{٩}$

نشتق الطرفين بقاعدة السلسلة: $٢ق'(٢س) = (٢ - س)^{-٢}$ . عند $س = \frac{١}{٢}$ يكون

٢ق'(١) = (\frac{٣}{٢})^{-٢} = \frac{٤}{٩}

فتكون $ق'(١) = \frac{٢}{٩}$ .

إذا كان $ق(س) = \sqrt[٣]{(س^{٢} + ٧)^{٢}}$ ، فما قيمة $ق''(١)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{١١}{١٨}$

نشتق بقاعدة القوة والسلسلة:

ق'(س) = \frac{٤}{٣} س(س^{٢} + ٧)^{-\frac{١}{٣}}

ثم بمشتقة حاصل الضرب نجد

ق''(١) = \frac{٤}{٣} \times \frac{١}{٢} - \frac{٨}{٩} \times \frac{١}{١٦} = \frac{٢}{٣} - \frac{١}{١٨} = \frac{١١}{١٨}

إذا كان $ق'(س) = (س^{٢} - ١)^{٣} (س - ٢)^{٤}$ ، فما الفترة التي يكون فيها الاقتران $ق(س)$ متناقصا؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $[-١ ، ١]$

$(س - ٢)^{٤} \ge ٠$ دائماً، فتتحدد إشارة $ق'(س)$ من $(س^{٢} - ١)^{٣}$ وهي سالبة عندما $-١ < س < ١$ . والاقتران متناقص حيث $ق'(س) < صفر$ ، أي في $[-١، ١]$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} ٦ - س , & س < ٢ \\ س^{٢} + ٢ س , & س \ge ٢ \end{cases}$ ، وكان متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ في $[أ ، ٢]$ يساوي ١ ، فما قيمة $أ$ ؟

(٦ علامات)

ج)

إذا كان $ص = قتا س ظتا س$ ، أثبت أن $ص' = قتا س - ٢ قتا^{٣} س$ .

(٨ علامات)

السؤال الثاني (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س) = ٣ س$ ، $ه(س) = ١ - س$ ، فما قيمة $\frac{د}{دس} \left( (ق \circ ه)^{٢}(س) \right)$ عندما $س = \frac{١}{٢}$ ؟

(علامتان)

أ
$-٩$
ب
$٩$
ج
$١٨$
د
$-١٢$

إذا كانت $\frac{١}{٢} س^{٢} = جا ص$ ، $ص \in ]\frac{\pi}{٢} ، \pi[$ ، فما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عند $س = ١$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $\frac{-٢}{\sqrt{٣}}$

نشتق الطرفين ضمنياً:

س = جتا ص \times \frac{دص}{دس}

. عند $س = ١$ يكون $جا ص = \frac{١}{٢}$ وبما أن $ص \in ]\frac{\pi}{٢}، \pi[$ فإن

جتا ص = -\frac{\sqrt{٣}}{٢}

فتكون

\frac{دص}{دس} = \frac{-٢}{\sqrt{٣}}

ما إحداثيات النقطة الواقعة على منحنى العلاقة $٢ ص + س^{٢} = ١١$ ، والتي يكون عندها المماس موازيا للمستقيم $ص + س = ١$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $(١ ، ٥)$

نشتق ضمنياً: $٢ص' + ٢س = ٠$ فتكون $ص' = -س$ . يوازي المماس المستقيم $ص = -س + ١$ ميله $-١$ ، فتكون $س = ١$ ومن العلاقة $٢ص = ١١ - ١ = ١٠$ أي $ص = ٥$ ، فالنقطة $(١، ٥)$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = س (س - ٣)^{٢} + ١$ ، $س \in ع$ ، حدد فترات التزايد والتناقص والقيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س)$ .

(٦ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = س |س|$ ، جد

فترات التقعر للأعلى وللأسفل للاقتران $ق(س)$ .
نقط وزوايا الانعطاف للاقتران $ق(س)$ (ان وجدت).

(٨ علامات)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود من الدرجة الثانية معرف على الفترة $[أ ، ب[$ ، ما أكبر عدد ممكن من النقط الحرجة للاقتران $ق(س)$ ؟

(علامتان)

أ
$١$
ب
$٢$
ج
$٣$
د
$٤$

إذا كان الاقتران $ق(س)$ كثير حدود ، $س \in [٢ ، ٦]$ ويقع منحناه في الربع الأول ومتناقصاً على مجاله، وكان الاقتران $ه(س) = ٨ - س$ ، وكان الاقتران $ك(س) = (ق \times ه)(س)$ معرفا على $[٢ ، ٦]$ ، أي العبارات الآتية صحيحة؟

(علامتان)

أ
$ك(س)$ متناقص في $[٢ ، ٦]$
ب
$ك(س)$ له نقطة حرجة في $[٢ ، ٦]$
ج
$ك(س)$ متزايد في $[٢ ، ٦]$
د
$ك(س)$ ثابت في $[٢ ، ٦]$

ما قيمة $نها_{س \to ٠} \frac{١}{س قتا س}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $١$

\frac{١}{س قتا س} = \frac{جا س}{س}

ونهايتها عندما $س \to ٠$ تساوي ١ بقاعدة لوبيتال: $\frac{جتا ٠}{١} = ١$ .

ب)

قذف جسم رأسياً إلى أعلى من نقطة على سطح برج بحيث أن ارتفاعه عن قمة البرج بالأمتار بعد $ن$ ثانية يعطى بالعلاقة $ف(ن) = أ ن - ب ن^{٢}$ . فاذا وصل الأرض بعد (٩ ث) وبسرعة ( $-٦٠$ م/ث)، فإذا علمت أن ارتفاع البرج (١٣٥ م) جد

قيمة كل من الثابتين $أ$ ، $ب$ .
زمن وصول الجسم وهو نازل إلى مستوى قمة البرج.

(٧ علامات)

ج)

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} \frac{ب}{س + أ} , & س \le ٠ \\ أ س + ١ + لو_{ه} (س + ه^{س}) , & س > ٠ \end{cases}$ ، وكانت $ق'(٠)$ موجودة ، جد قيمة كل من الثابتين $أ$ ، $ب$ ؟

(٧ علامات)

السؤال الرابع (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا علمت أن $ص = \sqrt{٣} \, ع$ ، $ع = جتا \left( \frac{\pi}{٣} س \right)$ ، ما قيمة $\left. \frac{دص}{دس} \right|_{س = ١}$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-\frac{\pi}{٢}$

ص = \sqrt{٣} \, جتا\left(\frac{\pi}{٣} س\right)

وبقاعدة السلسلة

\frac{دص}{دس} = -\sqrt{٣} \times \frac{\pi}{٣} \times جا\left(\frac{\pi}{٣} س\right)

. عند $س = ١$ :

-\sqrt{٣} \times \frac{\pi}{٣} \times \frac{\sqrt{٣}}{٢} = -\frac{\pi}{٢}

إذا كان متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ٣]$ يساوي ٤ ، ومقدار التغير في الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٣ ، ٧]$ يساوي $-٥$ ، فما قيمة $ق(١) - ق(٧)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-٣$

متوسط التغير في $[١، ٣]$ يساوي $\frac{ق(٣) - ق(١)}{٢} = ٤$ فيكون $ق(٣) - ق(١) = ٨$ . ومقدار التغير في $[٣، ٧]$ هو $ق(٧) - ق(٣) = -٥$ . بالجمع $ق(٧) - ق(١) = ٣$ فتكون $ق(١) - ق(٧) = -٣$ .

إذا كان $ق(س) = ٢ جا س + ٢ جتا س$ ، $س \in ]٠ ، \frac{\pi}{٤}[$ ، ما هي مجموعة قيم س التي يكون عندها قيمة عظمى مطلقة للاقتران $ق(س)$ على نفس الفترة ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\{ \}$

ق'(س) = ٢جتا س - ٢جا س > ٠

في $]٠، \frac{\pi}{٤}[$ فالاقتران متزايد، وأكبر قيمة له ستكون عند $س = \frac{\pi}{٤}$ وهي خارج الفترة المفتوحة. لا توجد قيمة عظمى مطلقة، فالمجموعة $\{ \}$ .

ب)

إذا كان المستقيم $س = أ - ٦ ص$ يمس منحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٣ س}{س - ٢}$ ، $س \neq ٢$ ، جد

نقط التماس.
قيمة / قيم الثابت $أ$ .

(٧ علامات)

ج)

شبه منحرف فيه ٣ أضلاع فقط متساوية في الطول وطول كل منها ٦ سم، جد أكبر مساحة ممكنة لشبه المنحرف.

(٧ علامات)

السؤال الخامس (20 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

إذا علمت أن $نها_{س \to ٢} \frac{س^{٢} - ٥ س + ٦}{ق(س) - ٢} = \frac{١}{٢}$ ، فما قيمة $ق'(٢)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-٢$

البسط يؤول إلى ٠ عند $س = ٢$ والنهاية موجودة، فيكون $ق(٢) = ٢$ والصورة $\frac{٠}{٠}$ . بلوبيتال:

\frac{٢س - ٥}{ق'(س)} \to \frac{-١}{ق'(٢)} = \frac{١}{٢}

فتكون $ق'(٢) = -٢$ .

إذا كان $ق \left( \sqrt{٢ س + ١} \right) = س^{٢} + ٢$ ، فما قيمة $ق'(٣)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $٢٤$

نشتق الطرفين بقاعدة السلسلة:

ق'(\sqrt{٢س + ١}) \times \frac{١}{\sqrt{٢س + ١}} = ٢س

. عندما $س = ٤$ يكون $\sqrt{٩} = ٣$ فنحصل $\frac{ق'(٣)}{٣} = ٨$ ومنها $ق'(٣) = ٢٤$ .

إذا كانت العلاقة بين المسافة التي قطعها جسم يتحرك وسرعته هي $ع^{٢} ف = ٦$ ، أي من المقادير الآتية يساوي تسارعه؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{-٣}{ف^{٢}}$

التسارع هو مشتقة السرعة، والسرعة مشتقة المسافة. نشتق $ع^{٢} ف = ٦$ بالنسبة للزمن: $٢ع ت ف + ع^{٣} = ٠$ فتكون $ت = \frac{-ع^{٢}}{٢ف}$ ، وبما أن $ع^{٢} = \frac{٦}{ف}$ فإن $ت = \frac{-٣}{ف^{٢}}$ .

ب)

يمثل الشكل المجاور منحنى $ق''(س)$ للاقتران $ق(س)$ المعرف على $ع - \{ ٠ \}$ ، فإذا علمت أن معادلة المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عندما $س = ١$ هي $ص - س - ١ = ٠$ ، والنقطة $(-٢ ، ٤)$ نقطة قيمة قصوى وحيدة للاقتران $ق(س)$ ، جد

فترات التقعر للأعلى وللأسفل للاقتران $ق(س)$ .
نقط وزوايا الانعطاف للاقتران $ق(س)$ (إن وجدت).
فترات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$ .

(٨ علامات)

ج)

ليكن $ص^{٢} = \frac{س}{س + ١}$ ، أثبت أن $\frac{دص}{دس} = \frac{ص^{٣}}{٢ س^{٢}}$ .

(٦ علامات)

السؤال السادس (20 علامة)أ) يتكون هذا الفرع من (٣) فقرات من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، انقل البديل الصحيح إلى دفتر الإجابة

سقط جسم من ارتفاع ١٠٠م سقوطا حرا، وكانت المسافة التي قطعها الجسم بالأمتار بعد $ن$ ثانية يعطى بالعلاقة: $ف(ن) = ٥ ن^{٢}$ ، ما سرعة الجسم وهو على ارتفاع ٤٥ م عن سطح الأرض.

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١٠ \sqrt{١١}$ م/ث

الجسم على ارتفاع ٤٥ م أي قطع ٥٥ م: $٥ن^{٢} = ٥٥$ فتكون $ن = \sqrt{١١}$ . السرعة $ع(ن) = ف'(ن) = ١٠ن$ ، فتكون $ع = ١٠\sqrt{١١}$ م/ث.

إذا كان $ق(س)$ كثير حدود، وكان $ق''(س) + ق(س) - س + س^{٢} = ٠$ ، فما قيمة $ق'(٠) + ق''(٠)$ ؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-١$

بما أن $ق''(س) + ق(س) = س - س^{٢}$ وهي من الدرجة الثانية، فـ $ق(س) = أس^{٢} + بس + جـ$ . بالمطابقة $أ = -١$ ، $ب = ١$ ، فتكون $ق'(٠) = ب = ١$ و $ق''(٠) = ٢أ = -٢$ والمجموع $-١$ .

يمثل الشكل المجاور منحنى $ق''(س)$ ، فإذا علمت أن $ق'(٣) = ٠$ ، أي العبارات الآتية صحيحة؟

(علامتان)

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $ق(٣)$ قيمة عظمى محلية

الشكل يبين أن $ق''(س)$ مستقيم أفقي تحت محور السينات، أي $ق''(٣) < ٠$ . وبما أن $ق'(٣) = ٠$ فبحسب اختبار المشتقة الثانية يكون $ق(٣)$ قيمة عظمى محلية.

ب)

إذا كان للاقتران $ق(س)$ نقطة انعطاف أفقي عند النقطة $(١ ، ق(١))$ ، وكانت $نها_{س \to ١} \frac{\frac{ق(س)}{س^{٢} + ٣} - ٤}{س^{٢} - ١}$ موجودة وتساوي $(٢)^{ن} - ٩$ ، $ن \in ص^{+}$ ، جد

قيمة $ق(١)$
قيمة $ن$

(٨ علامات)

ج)

ليكن $(س ص)^{٥} = س^{٢}$ ، حيث $س \neq ص \neq ٠$ ، أثبت أن $ص' = \frac{-٣ ص}{٥ س}$

(٦ علامات)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثانية، الورقة الأولى، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد