ورقة وزارية رسمية

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثالثة، مع الإجابات

أسئلة امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري توجيهي فلسطين 2025، الدورة الثالثة: ٣٠ سؤالاً كما وردت في الورقة، والإجابة الصحيحة لـ ١٨ منها. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

اقرأ المزيد

حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محدد كل أوراق الرياضيات (العلمي)

السنة: 2025
الدورة: الدورة الثالثة
الفرع: العلمي
تاريخ الامتحان: 6 كانون الأول 2025
عدد الأسئلة: 30

الإجابة الصحيحة تحت 18 سؤالاً من 30. الوزارة ما نشرت مفتاحاً لهذه الورقة، فحلّها فريقنا: حلّان مستقلّان اتفقا على كل إجابة، وراجعناها على الورقة. والباقي بلا حل مؤكّد بعد.

18 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

السؤال الأول (40 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

إذا كان $ق'(س) = \frac{١}{١ + س^{٢}}$ ، $ه(س) = ظاس$ ، فما قيمة $(ق \circ ه)'(س)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١$

بقاعدة السلسلة

(ق \circ هـ)'(س) = ق'(هـ(س)) \times هـ'(س)

ومنها

= \frac{١}{١ + ظا^{٢}س} \times قا^{٢}س

. وبما أن $١ + ظا^{٢}س = قا^{٢}س$ يبقى الناتج $١$ .

ما قيمة الثابت ب الذي يجعل لمنحنى الاقتران $ق(س) = س^{٣} + ب \, س^{٢} - ٩س$ نقطة انعطاف عندما $س = -١$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٣$

نقطة الانعطاف يتغير عندها التقعر، فيكون $ق''(-١) = ٠$ . من $ق''(س) = ٦س + ٢ب$ نحصل على $-٦ + ٢ب = ٠$ فيكون $ب = ٣$ ، وتتغير إشارة $ق''$ عندها.

ما مجموعة قيم س التي تجعل $\begin{bmatrix} س & ١ \\ ٦ & ٢ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ س^{٢} + س & ٢ \end{bmatrix}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\{٢\}$

المدخلات المتناظرة متساوية، فمن المدخل الأول $س = ٢$ . ويحقق ذلك أيضاً $س^{٢} + س = ٦$ ، أما $س = -٣$ فيناقض $س = ٢$ ، فالمجموعة $\{٢\}$ .

ب)

إذا كان $ق(س) = \frac{٣}{س} + س^{٢}$ ، جد متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ عندما $س_{١} = ٤$ ، $\Delta س = -٣$ . (١٢ علامة)

ج)

أجد قيمة كل من المحددات التالية: (١٦ علامة)

$\begin{vmatrix} -٤ & ٣ & ٢ \\ ٦ & ٥ & ١ \\ -٤ & ٣ & ٢ \end{vmatrix}$
$\left| ٥ \, م_{٣} \right|$

السؤال الثاني (40 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

إذا كان $ق(س) = ٧$ معرفا في الفترة $[١ ، ٤]$ ، وكانت $\sigma_{ن}$ تجزئة منتظمة للفترة $[١ ، ٤]$ ، فما قيمة $م(\sigma_{ن} ، ق)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٢١$

مجموع ريمان $\sum ق(س_ر^*)(س_ر - س_{ر-١})$ للاقتران الثابت $ق(س) = ٧$ يساوي $٧$ مضروباً في مجموع أطوال الفترات الجزئية أي طول $[١ ، ٤]$ وهو $٣$ ، فالناتج $٢١$ .

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} -٤ & ٣ \\ ٣ & ٧ \end{bmatrix}$ ، أي من المصفوفات التالية تساوي $٣(أ + ب) - ب$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\begin{bmatrix} -٢ & ٣ \\ ٢١ & ١٧ \end{bmatrix}$

نجمع أولاً:

أ + ب = \begin{bmatrix} -٢ & ٢ \\ ٨ & ٨ \end{bmatrix}

ثم نضرب بـ $٣$ لكل مدخل فنحصل على $\begin{bmatrix} -٦ & ٦ \\ ٢٤ & ٢٤ \end{bmatrix}$ ، ونطرح $ب$ مدخلاً مدخلاً فيصبح $\begin{bmatrix} -٢ & ٣ \\ ٢١ & ١٧ \end{bmatrix}$ .

إذا كان $ق(س) = س \times ه(٣س - ٤)$ ، وكان $ق(٢) = ١٢$ ، $ه'(٢) = ٢$ ، فما قيمة $ق'(٢)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١٨$

بقاعدة حاصل الضرب وقاعدة السلسلة:

ق'(٢) = ه(٢) + ٢ \times ٣ \times ه'(٢)

. من $ق(٢) = ٢ \times ه(٢) = ١٢$ نجد $ه(٢) = ٦$ ، فيكون $ق'(٢) = ٦ + ١٢ = ١٨$ .

ب)

إذا كانت $ص = أس^{٥} + \frac{٥}{س^{٤}}$ ، $س \neq ٠$ ، $أ \in ع$ ، أثبت أن $ص'' = \frac{٢٠ ص}{س^{٢}}$ (١٢ علامة)

ج)

جد $\int_{-١}^{٢} (٢س - ٤) \, دس$ مستخدما تعريف التكامل المحدود (١٦ علامة)

عرض باقي الأسئلة (٢٠)

السؤال الثالث (40 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

ما قيمة $\int قتا^{٤}س \, ظتاس \, دس$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-\frac{١}{٤} قتا^{٤}س + ج$

نأخذ $ق(س) = قتا س$ حيث $ق'(س) = -قتا س ظتا س$ ، فيكون

\int قتا^{٤}س ظتا س \, دس = -\int قتا^{٣}س (-قتا س ظتا س) \, دس = -\frac{١}{٤} قتا^{٤}س + ج

إذا كان $\int_{٢}^{٥} (٧ + ق(س)) \, دس = ٣٠$ و كان $\int_{٢}^{٣} ق(س) \, دس = ٦$ ، فما قيمة $\int_{٥}^{٣} ٢ق(س) \, دس$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $-٦$

\int_٢^٥ (٧ + ق) = ٢١ + \int_٢^٥ ق = ٣٠

فيكون $\int_٢^٥ ق = ٩$ ، ومنها $\int_٣^٥ ق = ٩ - ٦ = ٣$ . وبعكس حدود التكامل يصبح

\int_٥^٣ ٢ق = -٢ \times ٣ = -٦

إذا كان $ق(س) = ٥$ ، فما هي مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $ق(س)$ ومحور السينات في الفترة $[-١ ، ١]$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $١٠$

المساحة

= \int_{-١}^{١} |٥| \, دس = ٥ \times (١ - (-١)) = ١٠

أما $٥$ فهو ارتفاع المستطيل فقط، ولا بد من ضربه في عرض الفترة $٢$ .

ب)

جد النقط على منحنى العلاقة $\sqrt{س} + \sqrt{ص} = ٣$ التي يكون عندها المماس لمنحنى العلاقة موازيا للمستقيم $٢س + ص = ٥$ . (١٦ علامة)

ج)

جد $\int_{٠}^{١} (س^{٢} - ٢س)(س - ١)^{٥} \, دس$ (١٢ علامة)

السؤال الرابع (40 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٣ & ١ \\ ٤ & ٢ \end{bmatrix}$ ، فما قيمة $أ^{-١}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $\begin{bmatrix} ١ & \frac{-١}{٢} \\ -٢ & \frac{٣}{٢} \end{bmatrix}$

المحدد

= ٣ \times ٢ - ١ \times ٤ = ٢

. نبدل مدخلات القطر الرئيسي ونغير إشارة مدخلات القطر الآخر ثم نضرب بـ $\frac{١}{٢}$ ، فنحصل على $\begin{bmatrix} ١ & \frac{-١}{٢} \\ -٢ & \frac{٣}{٢} \end{bmatrix}$ .

إذا كان $ق(س) = لو_{ه}(جتاس)$ معرفا على الفترة $[٠ ، \frac{\pi}{٣}]$ ، ما القيمة العظمى المطلقة للاقتران $ق(س)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) صفر

$ق'(س) = -ظاس < ٠$ على $]٠ ، \frac{\pi}{٣}[$ فالاقتران متناقص، وأكبر قيمة له عند بداية الفترة: $ق(٠) = لو_{ه}(١) = ٠$ ، وهي أكبر من كل قيمة أخرى في الفترة.

إذا كان $ق(س) = ٤س^{٣}$ معرفا في الفترة $[-٢ ، ٤]$ ، وكان $ت(س)$ هو الاقتران المكامل له، فما قيمة $ت(١) + ٢ت(-٢)$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $-١٥$

الحد الأدنى للتكامل هو بداية الفترة $-٢$ ، فـ

ت(س) = \int_{-٢}^{س} ٤ص^{٣} \, دص = س^{٤} - ١٦

. إذن $ت(١) = -١٥$ و $ت(-٢) = ٠$ ، فالناتج $-١٥$ .

ب)

عند حل المعادلتين $ن س - ص = ٥$ ، $ك س + ص = ٣$ ، ( $ن$ ، $ك$ عددان حقيقيان لا يساويان صفر)، باستخدام قاعدة كريمر وجد أن $\begin{bmatrix} ٢٧ & -٧ \\ ١٣ & -١ \end{bmatrix} = أ . أ_{س}$ ، جد قيمة $س$ . (١٤ علامة)

ج)

إذا كان $ق(س) = ه^{-(س-٢)^{٢}}$ ، $س \in ع$ ، جد: (١٤ علامة)

فترات التزايد والتناقص للاقتران $ق(س)$ .
القيم العظمى و الصغرى المحلية للاقتران $ق(س)$ إن وجدت .

السؤال الخامس (40 علامة)القسم الثاني: يتكون هذا القسم من (سؤالين)، وعلى المشترك أن يجيب عن سؤال واحد فقط.أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

ما مجموعة قيم س التي يكون عندها للاقتران $ق(س) = \begin{cases} س^{٢} - ٣ , & -١ < س \le ٢ \\ ٣ - س , & ٢ < س < ٣ \end{cases}$ نقطة حرجة؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\{٠ ، ٢\}$

النقطة الحرجة تشترط أن $ق'(أ) = ٠$ أو غير موجودة. $ق'(س) = ٢س$ فتنعدم عند $س = ٠$ ، وعند $س = ٢$ المشتقة غير موجودة لأن ميلها من اليسار $٤$ ومن اليمين $-١$ . أما $٣$ فخارج المجال.

إذا بدأ جسم التحرك في خط مستقيم من نقطة الأصل مبتعدا عنها وكانت سرعته في أي لحظة تعطى بالعلاقة $ع(ن) = ٣ن^{٢} + ٢ن$ ، فما بعد الجسم عن نقطة الأصل بعد ثانيتين من بدء الحركة؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) $١٢$

البعد

ف(ن) = \int ع(ن) \, د ن = ن^{٣} + ن^{٢} + جـ

وبما أن الجسم بدأ من نقطة الأصل فإن $جـ = ٠$ . عندئذ $ف(٢) = ٨ + ٤ = ١٢$ .

إذا كان $ص = لو_{ه}(س^{٢})$ ، فما قيمة $ه^{ص} \times \frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $-٢$

نكتب $ص=لو_{ه}ك(س)$ حيث $ك(س)=س^{٢}>٠$ (أي $س \neq ٠$ )، فتكون

ص'=\frac{ك'(س)}{ك(س)}=\frac{٢س}{س^{٢}}=\frac{٢}{س}

و $ص''=-\frac{٢}{س^{٢}}$ . وبما أن $ه^{ص}=س^{٢}$ فإن الناتج

س^{٢} \times \left(-\frac{٢}{س^{٢}}\right)=-٢

ب)

جد $\int (\frac{س + ٥}{س - س^{٢}}) \, دس$ . (١٤ علامة)

ج)

جد حجم أكبر أسطوانة دائرية قائمة يمكن وضعها داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه ١٢ سم ونصف قطر قاعدته ٤ سم. (١٤ علامة)

السؤال السادس (40 علامة)أ) اختر الإجابة الصحيحة واكتبها في المكان المخصص في دفتر الإجابة: (١٢ علامة)

ما قيمة $\frac{د}{دس} \int (\frac{جاس \, جتاس}{س \, جا٢س}) \, دس$ ؟ $س > ٠$ .

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) $\frac{١}{٢س}$

التكامل غير المحدود يعطي اقتراناً أصلياً مشتقته هي الاقتران المكامل نفسه. فالناتج

\frac{جاس \, جتاس}{س \, جا٢س} = \frac{جاس \, جتاس}{٢س \, جاس \, جتاس} = \frac{١}{٢س}

إذا كانت $ص = س^{٢} + ه^{س} - ٣$ ، فما قيمة أو قيم $س$ التي تجعل $ص' = ص$

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) $٣ ، -١$

$ص' = ٢س + ه^{س}$ ، وشرط $ص' = ص$ يعطي $٢س = س^{٢} - ٣$ أي $س^{٢} - ٢س - ٣ = ٠$ ، ومنها $(س - ٣)(س + ١) = ٠$ فـ $س = ٣$ أو $س = -١$ .

إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ٥]$ يساوي (٣) ، وكان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[٥ ، ١٣]$ يساوي $(-٣)$ ، فما قيمة متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[١ ، ١٣]$ ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) $-١$

متوسط التغير

= \frac{ق(س_{٢}) - ق(س_{١})}{س_{٢} - س_{١}}

فـ

ق(٥) - ق(١) = ٣ \times ٤ = ١٢

ق(١٣) - ق(٥) = -٣ \times ٨ = -٢٤

. المجموع $-١٢$ على طول الفترة $١٢$ فيكون $-١$ .

ب)

حدد نقاط الانعطاف (إن وجدت) للاقتران $ق(س) = ٣ \, جاس \, جتاس$ ، $س \in ]٠ ، \pi[$ (١٤ علامة)

ج)

إذا كانت $\lim_{س \to ٢} \left( \frac{٦ - \frac{س}{ق(س)}}{(٢ - س)^{٣} + لو_{ه}(س - ١)^{٢}} \right) = \frac{١}{٢}$ ، جد $ق(٢)$ ، $ق'(٢)$ ؟ (١٤ علامة)

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

كل أوراق الرياضيات (العلمي) الوزارية صفحة الرياضيات (العلمي)أسئلة مع الحل ملخصات المادة بطاقات تعليمية معجم المصطلحات الامتحانات المتوقعة

امتحان الرياضيات (العلمي) الوزاري فلسطين 2025، الدورة الثالثة، مع الإجابات

أوراق الرياضيات (العلمي) الأخرى

ذاكر الرياضيات (العلمي)

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد