امتحان الرياضيات الوزاري 2021، الدورة التكميلية، الورقة الأولى، مع الإجابات

إذا كان $\displaystyle \text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{١}}{\text{س} + \textup{٢}}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = [\text{س} + \textup{٢}]$ ، $\text{س} \in [\textup{٠} \text{،} \textup{١}]$ ، فإنّ الفترة التي يكون فيها الاقتران $\text{ق} \times \text{هـ}$ متصلاً هي:

إذا كان $\displaystyle \text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \dfrac{\text{س}^{\textup{٣}} - \textup{٢٧}}{\text{س} - \textup{٣}} \text{ ،} & \text{س} \le \textup{٢} \\ \textup{٢٠} - \text{س} \text{ ،} & \text{س} > \textup{٢} \end{cases}$ ، فإنّ الاقتران ق متصل على:

إذا كان $\text{ق}(\text{س})$ ، $\text{ق}^{\textup{٢}}(\text{س})$ اقترانين متصلين في الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٢}]$ ، وكان معدل التغيّر لكل منهما على الترتيب ٣ ، ١٢ على الفترة نفسها ، فإنّ قيمة $\text{ق}(\textup{١}) + \text{ق}(\textup{٢})$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرَّف على الفترة $[-\textup{٢} \text{،} \textup{٨}]$ ، إذا كان ميل القاطع $\overleftrightarrow{\vphantom{A}\text{أب}}$ لمنحنى الاقتران ق يساوي $\displaystyle -\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ ، فإنّ $\text{ق}(-\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\displaystyle \dfrac{\text{ق}(\text{س})}{\text{س} + \textup{٣}} = (\text{س} - \textup{٣})$ ، $\text{س} \ne -\textup{٣}$ ، فإنّ $\text{قَ}(-\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{أس}^{\textup{٣}}$ ، وكانت $\displaystyle \mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} \dfrac{\text{ق}(\textup{٢}\text{س}) - \text{ق}(\textup{٤})}{\text{س} - \textup{٢}} = \textup{٨}$ ، فإنّ قيمة الثابت أ تساوي:

إذا كان $\displaystyle \text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١}}{\text{س}}$ ، $\text{س} \ne \textup{٠}$ ، فإنّ $\text{قَ}(\sqrt{\textup{٣}})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = [\textup{٢}\text{س} + \textup{٠٫٦}] - \vert{}\text{س}\vert{}$ ، فإنّ $\text{قَ}(\textup{٠٫٤})$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق ، المعرَّف على مجموعة الأعداد الحقيقية $\text{ح}$ ، ما قيمة س التي يكون عندها الاقتران ق غير قابل للاشتقاق؟

إذا كان $\text{ص} = \text{جتا}^{\textup{٣}}\text{س}$ ، فإنّ $\displaystyle \dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ عند $\displaystyle \text{س} = \dfrac{\textup{٥}\pi}{\textup{٦}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{أس}(\text{جاس} - \textup{١})$ ، وكان $\text{قَ}(\textup{٠}) = \textup{٤}$ ، فإنّ قيمة الثابت أ تساوي:

إذا كان $\displaystyle \text{ق}(\text{س}) = \text{أس}^{\textup{٤}} + \dfrac{\textup{١٦}}{\sqrt{\text{س}}}$ ، $\text{س} > \textup{٠}$ ، وكان $\text{قً}(\textup{١}) = \textup{٣٦}$ ، فإنّ قيمة الثابت أ تساوي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{ق}(\text{س}) = (\text{س}^{\textup{٢}} - \text{هـ}(\text{س}))^{\textup{٢}}$ ، $\text{هـ}(\textup{١}) = \textup{٢}$ ، $\text{قَ}(\textup{١}) = \textup{٤}$ ، فإنّ $\text{هـَ}(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\displaystyle \text{قَ}(\text{س}) = \dfrac{\textup{١}}{\textup{١} + \text{س}^{\textup{٢}}}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \text{ظتاس}$ ، فإنّ $(\text{ق} \circ \text{هـ})\text{´}(\text{س})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}) = -\textup{٦}\text{س}$ ، $\text{س} > \textup{٠}$ ، فإنّ $\text{قَ}(\textup{٣})$ تساوي:

إذا كان $\displaystyle \dfrac{\textup{١}}{\text{س}} - \dfrac{\textup{١}}{\text{ص}} = \textup{٤}$ ، $\text{س} \ne \textup{٠}$ ، $\text{ص} \ne \textup{٠}$ ، فإنّ $\displaystyle \dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ تساوي:

يتحرك جُسيم على خط مستقيم وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٣}\text{ن}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{ن}$ ، حيث ف : المسافة بالأمتار ، ن : الزمن بالثواني ، فإذا كانت السرعة المتوسطة للجُسيم في الفترة $[\textup{١} \text{،} \text{ب}]$ تساوي سرعته اللحظية بعد مرور ٣ ثوانٍ ، فإنّ قيمة الثابت ب تساوي:

قُذف جسم رأسيًا إلى الأعلى من نقطة على ارتفاع ٤٠ مترًا من سطح الأرض وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٤٠}\text{ن} - \textup{٥}\text{ن}^{\textup{٢}}$ ، حيث ف : المسافة بالأمتار ، ن : الزمن بالثواني ، ما الزمن بالثواني الذي يكون الجسم فيه على ارتفاع ١٠٠ متر عن سطح الأرض قبل أن يصل إلى أقصى ارتفاع ؟

يتسرب الهواء من بالون كروي بحيث يبقى محافظًا على شكله بمعدّل ٢٥ سم³/د ، ما معدل التغير في طول نصف قطر البالون عندما يكون طول نصف قطره ٥ سم ؟

يرتكز سلم طوله ١٠ أمتار بطرفه العلوي على حائط عمودي وبطرفه السفلي على أرض مستوية، إذا تحرك الطرف السفلي مبتعدًا عن الحائط بمعدل $\displaystyle \dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ م/ث ، ما معدل تغيّر الزاوية بين أسفل السلم وسطح الأرض عندما يكون طرفه السفلي على بعد ٦ أمتار عن الحائط؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرَّف على الفترة $[\textup{٠} \text{،} \pi]$ ، ما عدد النقاط الحرجة للاقتران ق ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}}(\textup{٤} - \text{س})$ ، $\text{س} \in [-\textup{٢} \text{،} \textup{١٠}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٢ ، ٣٣ ، ٣٤ الآتية: الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق متناقصًا هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}}(\textup{٤} - \text{س})$ ، $\text{س} \in [-\textup{٢} \text{،} \textup{١٠}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٢ ، ٣٣ ، ٣٤ الآتية:

للاقتران ق قيمة عظمى محلية ومطلقة عند س تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}}(\textup{٤} - \text{س})$ ، $\text{س} \in [-\textup{٢} \text{،} \textup{١٠}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٢ ، ٣٣ ، ٣٤ الآتية:

الفترة (الفترات) التي يكون فيها منحنى الاقتران ق مقعرًا للأعلى هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران ق المعرَّف على مجموعة الأعداد الحقيقية $\text{ح}$ ، ما الفترة التي يقع فيها منحنى الاقتران ق تحت جميع مماساته؟

جد: $\displaystyle \mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}} \dfrac{\text{س}(\text{س} + \dfrac{\textup{١}}{\text{س}})^{\textup{٢}} - \textup{٤}}{\dfrac{\textup{٢}}{\text{س}} - \textup{٢}}$ (١٢ علامة)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} (\text{أ} + \textup{١})\text{س}^{\textup{٢}} - \text{بس} \text{ ،} & \text{س} \le \textup{٢} \\ \textup{٤} + \text{أس} - \text{بس}^{\textup{٣}} \text{ ،} & \text{س} > \textup{٢} \end{cases}$ ، قابلاً للاشتقاق عند $\text{س} = \textup{٢}$ ، فجد قيمة كل من الثابتين أ ، ب (١٢ علامة)

جد $\displaystyle \dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل مما يأتي:

١) $(\text{س} - \text{ص})^{\textup{٣}} = \text{س}^{\textup{٣}}$ ، عند $\text{س} = \textup{١}$ (٦ علامات)

جد $\displaystyle \dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل مما يأتي:

٢) $\text{ص} \text{جتا}\textup{٢}\text{س} = \text{س} \text{جا}\textup{٢}\text{ص}$ ، عند النقطة $\displaystyle (\dfrac{\pi}{\textup{٤}} \text{،} \dfrac{\pi}{\textup{٢}})$ (٦ علامات)

جد مساحة المثلث القائم الزاوية المكوَّن من المماسين المرسومين لمنحنى العلاقة $\text{س} = \text{ص}^{\textup{٢}} - \textup{٢}\text{ص}$ عند نقطتي تقاطع منحناها مع محور الصادات والعمودي على أحد المماسين عند نقطة التماس. (انظر الشكل التوضيحي المجاور) (١٢ علامة)

يُراد صنع صندوق من الصفيح مفتوح من الأعلى حجمه $\textup{٣٢}$ م³ على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مستطيلة الشكل أحد بُعديها مثلي الآخر ، إذا كانت تكلفة المتر المربع الواحد من القاعدة (٩) دنانير ومن الجوانب (٣) دنانير ، ما أبعاد الصندوق التي تجعل تكلفة تصنيعه أقل ما يمكن؟ (١٢ علامة)