امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، الأدبي والشرعي والفندقي، مع الإجابات

إذا كان $f(x) = -3x^{-4}$ ، فإن أي اقتران أصلي للاقتران $f(x)$ يكتب على الصورة:

$\int \frac{7x-2x^2}{x} dx$ هو:

$\int x(x^4 - 3) dx$ هو:

إذا كان $f'(x) = 3x^{2} - 4$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $f(x)$ الذي يمر منحناه بالنقطة $(1,0)$ هي:

• إذا كان $\int_{-1}^{2} f(x)dx = -2$ , $\int_{-1}^{3} f(x)dx = -1$ , $\int_{3}^{-1} g(x)dx = 5$ ، فأجب عن الفقرتين 5 و 6 الآتيتين:

قيمة $\int_{-1}^{3} (2f(x) - g(x))dx$ تساوي:

إذا كان $\int_{-1}^{2} f(x)dx = -2$ , $\int_{-1}^{3} f(x)dx = -1$ , $\int_{3}^{-1} g(x)dx = 5$ :

قيمة $\int_{2}^{3} (f(x) + 3)dx$ تساوي:

إذا كان $\int_{k}^{2k-1} 2\, dx = 18$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ تساوي:

يتغير عدد السكان في إحدى القرى شهريًا بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران $P'(t) = 2t^{\frac{1}{2}}$ ، حيث $t$ عدد الأشهر من الآن، $P(t)$ عدد السكان. مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر التسعة القادمة يساوي:

التكامل المحدود الذي قيمته تساوي مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f(x) = (x + 1)(x - 2)$ والمحور $x$ هو:

يبين الشكل الآتي منحنى الاقتران $f(x)$ . إذا كان $\int_{0}^{2} f(x)dx = 5$ ، وكانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $f(x)$ ومحور $x$ تساوي 12 وحدة مساحة ، فإنّ قيمة $\int_{2}^{4} f(x)dx$ تساوي:

$\int 3 \sin(2 - 3x)dx$ هو:

$\int (9e^{-3x} + 4e^{2})dx$ هو:

$\int \frac{4}{(3-2x)^{3}} dx$ هو:

قيمة $\int_{3}^{4} \frac{1}{9-2x} dx$ هي:

$\int \cos^{5} x \sin x\, dx$ هو:

التجربة العشوائية التي تُمثل تجربة احتمالية هندسية مما يأتي هي:

إذا كان $X \sim Geo(p)$ ، وكان $P(X = 1) = \frac{2}{7}$ ، فإنّ $E(X)$ يساوي:

إذا كان $X \sim B\left(10, \frac{1}{5}\right)$ ، فإنّ $P(X = 2)$ يساوي:

إذا كان $X \sim B(420, p)$ ، وكان $E(X) = 40$ ، فإنّ قيمة $p$ هي:

إذا كان $X \sim B(3, p)$ ، وكان $P(X \le 2) = \frac{37}{64}$ فإنّ $P(X = 3)$ يساوي:

إذا كان $X \sim B(6, p)$ ، وكان $E(X) = 2.4$ ، فإنّ قيمة $Var(X)$ تساوي:

من خصائص المنحنى الطبيعي:

إذا كان $X \sim N(20, 9)$ ، فإنّ النسبة المئوية للبيانات التي تقل عن 20 هي:

إذا كان $Z$ متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا معياريًا ، وكان $P(Z < a) = 0.6$ ، فإنّ قيمة $P(Z > -a)$ تساوي:

إذا كان $X \sim N(54, \sigma^{2})$ ، وكانت القيمة المعيارية التي تقابل $x = 50$ هي $z = -1$ ، فإنّ قيمة الانحراف المعياري تساوي:

السؤال الثاني: (28 علامة) a) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ هو $f'(x) = 4\sqrt[3]{x} - 2x$ ، فما قاعدة الاقتران $f(x)$ علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة $(1, 12)$ ؟ (8 علامات) b) إذا كان $f(x) = \begin{cases} 3x^{2} - 10 & , x < 3 \\ 2x + 11 & , x \ge 3 \end{cases}$ ، أوجد $\int_{0}^{4} f(x)\, dx$ (9 علامات) c) جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f(x) = 2x - x^{2}$ ، والمحور $x$ والمستقيمين $x = 1$ و $x = 3$ . (11 علامة)

أ) جد كل من التكاملات الآتية: 1) $\int \left(5\cos(x + 1) + \frac{2x+3}{x^{2}+3x}\right) dx$ 2) $\int_{1}^{2} \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}\, dx$

ب) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويُعطى تسارعه بالاقتران $a(t) = 2t + 1$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو $5\,\mathrm{m}$ ، وكانت سرعته المتجهة هي $4\,\mathrm{m/s}$ بعد ثانية واحدة من بدء الحركة، فجد موقع الجُسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

أ) يتدرب لاعب كرة سلة على رمي الكرة في الهدف. وكان احتمال إصابته الهدف هو $0.4$ . إذا مثّل $X$ عدد محاولات اللاعب حتى يُصيب أول هدف، فما احتمال أن يصيب اللاعب الهدف بعد أكثر من 3 محاولات؟

ب) بعد إجراء مسح للمصلين في أحد مساجد العاصمة عمان تبين أن $70\%$ من هؤلاء المصلين تقل أعمارهم عن 50 عامًا. إذا اختير (15) مصليًا من مُرتادي هذا المسجد عشوائيًا، فما احتمال أن يقل عمر اثنين منهم على الأكثر عن 50 عامًا؟

أ) إذا دلّ المتغير العشوائي $X$ على علامات مجموعة من طلبة الصف العاشر في أحد الاختبارات، حيث $X \sim N(72, 16)$ ، فاستعمل القاعدة التجريبية والشكل الآتي الذي يُمثل منحنى توزيعًا طبيعيًا للإجابة عن كلّ مما يأتي: 1) ما قيمة $P(X > 76)$ ؟ 2) ما قيمة $P(68 < X < 80)$ ؟ 3) إذا علمت أن $16\%$ من الطلبة لم ينجحوا في الاختبار، فما علامة النجاح؟

ب) تبين لإدارة السير من دراسة أجرتها على أحد الطرق، أن سرعة السيارات على هذا الطريق تتبع توزيعًا طبيعيًا وسطه الحسابي $70\,\mathrm{km/h}$ ، وانحرافه المعياري $5\,\mathrm{km/h}$ . إذا بلغ العدد الكلي للسيارات التي تسير على هذا الطريق في أحد الأيام 1000 سيارة ، فما عدد السيارات التي تتراوح سرعتها بين $64\,\mathrm{km/h}$ و $80.5\,\mathrm{km/h}$ ؟ ملاحظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يتضمن قيمًا مأخوذة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري.