امتحان الرياضيات الوزاري 2022، الدورة التكميلية، الورقة الأولى، الأدبي والشرعي والمعلوماتية والصحي والفندقي، مع الإجابات

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ ، أجب عن الفقرتين (١) ، (٢) الآتيتين:

١) ما مجموعة قيم الثابت م حيث $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \text{م}} \text{ق}(\text{س}) = \text{صفر}$ ؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ ، أجب عن الفقرتين (١) ، (٢) الآتيتين:

٢) ما قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}} \left((\text{ق}(\text{س}))^{\textup{٢}} + \textup{٥}\text{س} - \textup{٢}\right)$ ؟

ما قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٠}} \left((\text{س} - \textup{٢})(\text{س} - \textup{٣})\right)$ ؟

ما قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} \dfrac{\text{س} - \textup{٢}}{\text{س} + \textup{٢}}$ ؟

إذا كانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} \left((\text{ق}(\text{س}))^{\textup{٣}} + \textup{٥}\right) = \textup{٣٢}$ ، فما قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} (\text{ق}(\text{س}))^{\textup{٢}}$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١} & \text{،} \text{س} < \textup{٤} \\ \textup{٦} & \text{،} \text{س} = \textup{٤} \\ \text{س} + \textup{٥} & \text{،} \text{س} > \textup{٤} \end{cases}$ ، فإن قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٤}} \text{ق}(\text{س})$ تساوي:

إذا كان الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ متصلًا عند $\text{س} = \textup{٣}$ ، وكان $\text{ق}(\textup{٣}) = \textup{٥}$ ، فما قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} \left(\text{س} \text{ق}(\text{س}) - \textup{٤} \text{ق}(\text{س})\right)$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س}}{(\text{س} + \textup{١})(\text{س} - \textup{٢})}$ ، فإن مجموعة قيم س التي يكون عندها الاقتران ق غير متصل هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٣}(\text{س} - \textup{١}) & \text{،} \text{س} < \text{ل} \\ \textup{٢٤} & \text{،} \text{س} \ge \text{ل} \end{cases}$ وكانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \text{ل}} \text{ق}(\text{س})$ موجودة ، فما قيمة الثابت ل ؟

إذا كان معدّل تغير الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في الفترة $[-\textup{٤} \text{،} \textup{٢}]$ يساوي $\textup{٣}$ ، وكان $\text{ق}(-\textup{٤}) = \textup{٢}$ ، فإن $\text{ق}(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان المستقيم ل يقطع منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في النقطتين $(-\textup{٣} \text{،} \textup{٥})$ ، $(-\textup{٤} \text{،} \textup{٢}\text{م})$ ، وكان ميل المستقيم ل يساوي $\textup{٧}$ ، فما قيمة الثابت م ؟

إذا كان $\text{ص} = \text{ق}(\text{س})$ ، وكان مقدار التغير في قيمة الاقتران ق عندما تتغير س من $\text{س}_{\textup{١}}$ إلى $\text{س}_{\textup{١}} + \text{هـ}$ هو $\Delta \text{ص} = \textup{٣}\text{س}^{\textup{٢}}\text{هـ} + \textup{٣}\text{سهـ}^{\textup{٢}} + \text{هـ}^{\textup{٣}}$ ، فما قيمة $\text{قَ}(-\textup{١})$ ؟

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = \text{أ} \text{ن}^{\textup{٢}}$ ، حيث ف المسافة بالأمتار ، ن الزمن بالثواني ، إذا كانت السرعة المتوسطة للجُسيم في الفترة الزمنية $[\textup{٠} \text{،} \textup{٤}]$ تساوي ٨ م/ث ، فإن قيمة الثابت أ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٤}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١}$ ، فإن قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{هـ} \to \textup{٠}} \dfrac{\text{ق}(\textup{١}) - \text{ق}(\textup{١} + \text{هـ})}{\textup{٢}\text{هـ}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}}(\textup{٢}\text{س} - \textup{٣})$ ، فإن $\text{قَ}(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{م} \text{س}^{\textup{٤}} - \textup{١}$ ، وكان $\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}} \text{قَ}(\textup{٢}) = \textup{٨}$ ، فإن قيمة الثابت م تساوي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $(\text{ق} \times \text{هـ})^{\prime}(\textup{٣}) = \textup{٣٠}$ ، $\text{ق}(\textup{٣}) = -\textup{٤}$ ، $\text{قَ}(\textup{٣}) = \textup{٥}$ ، $\text{هـ}(\textup{٣}) = \textup{١٠}$ ، فإن قيمة $\text{هـَ}(\textup{٣})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتا}(\textup{١} - \textup{٣}\text{س})$ ، فإن $\text{قَ}(\text{س})$ تساوي:

ما ميل المماس لمنحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{-\textup{٨}}{\text{س}}$ ، $\text{س} \neq \textup{٠}$ عند $\text{س} = \textup{٢}$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\textup{١} - \text{س})^{\textup{٢}}$ ، فإن معادلة المماس لمنحنى الاقتران ق عند النقطة $(\textup{٠} \text{،} \textup{١})$ هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $\text{ق}(\text{س})$ ، أجب عن الفقرات (٢١) ، (٢٢) ، (٢٣) الآتية:

٢١) ما مجموعة قيم س الحرجة للاقتران ق ؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $\text{ق}(\text{س})$ ، أجب عن الفقرات (٢١) ، (٢٢) ، (٢٣) الآتية:

ما الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق متناقصًا ؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $\text{ق}(\text{س})$ ، أجب عن الفقرات (٢١) ، (٢٢) ، (٢٣) الآتية:

ما قيمة س التي يكون للاقتران ق عندها قيمة عظمى محلية ؟

إذا كان الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ كثير حدود له قيمة صغرى محلية عند النقطة $(\textup{٢} \text{،} \textup{٣})$ ، فما قيمة $\text{قَ}(\textup{٢})$ ؟

إذا كان $\text{كَ}(\text{س})$ هو اقتران التكلفة الحدية لإنتاج س قطعة من منتج معين ، $\text{دَ}(\text{س})$ هو اقتران الإيراد الحدي ، فإن اقتران الربح الحدي $\text{رَ}(\text{س})$ يساوي:

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي (إن وجدت):

١) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٠}} \dfrac{\textup{٦}\text{س}^{\textup{٤}} + \textup{١٨}\text{س}^{\textup{٢}}}{\textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٣}\text{س}^{\textup{٣}}}$

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي (إن وجدت):

٢) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}} \dfrac{\dfrac{\textup{٣}}{\textup{٢}\text{س} + \textup{٤}} - \dfrac{\textup{١}}{\text{س} + \textup{١}}}{\text{س} - \textup{١}}$

إذا كان كل من الاقترانين ق ، هـ متصلين عند $\text{س} = \textup{٤}$ ، وكان $\dfrac{\textup{١}}{\textup{٣}} \text{ق}(\textup{٤}) = \textup{٢}$ ، $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٤}} \dfrac{(\text{ق}(\text{س}))^{\textup{٢}} - \textup{١٦}}{\text{هـ}(\text{س})} = \textup{٤}$ ، $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٤}} \text{هـ}(\text{س}) \neq \textup{٠}$ ، فجد قيمة $\text{هـ}(\textup{٤})$ . (٦ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٥}\text{س}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \begin{cases} \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٣} & \text{،} \text{س} < \textup{٢} \\ \textup{٤}\text{س} - \textup{٢} & \text{،} \text{س} \ge \textup{٢} \end{cases}$ وكان $\text{ل}(\text{س}) = (\text{ق} + \text{هـ})(\text{س})$ ، فابحث في اتصال الاقتران ل عند $\text{س} = \textup{٢}$ . (١٢ علامة)

إذا كان معدّل تغير الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٤}]$ يساوي ( ٧ ) ، فما قيمة معدّل تغير الاقتران $\text{هـ}(\text{س}) = \textup{٢}\text{ق}(\text{س}) + \textup{٥}\text{س}$ في الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٤}]$ ؟ (١٢ علامة)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٥} - \text{س}^{\textup{٢}}$ ، فجد $\text{قَ}(\text{س})$ باستخدام تعريف المشتقة . (١٢ علامة)

جد $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل ما يأتي:

١) $\text{ص} = \text{س}\,\text{جا}\textup{٧}\text{س} + \textup{١٠}\sqrt[\textup{٥}]{\text{س}^{\textup{٣}}}$

جد $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل ما يأتي:

٢) $\text{ص} = \text{ع}^{\textup{٣}} + \textup{٨}$ ، $\text{ع} = \sqrt{\text{س} + \textup{١}}$ ، $\text{س} > -\textup{١}$ ، عندما $\text{س} = \textup{٣}$ . (١٢ علامة)

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٦}\text{ن}^{\textup{٢}} - \text{ن}^{\textup{٣}}$ ، حيث ف المسافة بالأمتار ، ن الزمن بالثواني ، ما سرعة الجُسيم بالأمتار عندما ينعدم تسارعه ؟ (٧ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٢٧}\text{س} - \text{س}^{\textup{٣}}$ ، فجد كلًا مما يأتي للاقتران ق :

١) فترات التزايد والتناقص

٢) القيم العظمى والصغرى المحلية (إن وجدت) (٩ علامات)

إذا كان اقتران الإيراد الكلي للمبيعات هو: $\text{د}(\text{س}) = \textup{٣٠٠}\text{س} + \textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}}$ دينارًا ، واقتران التكلفة الكلية هو $\text{ك}(\text{س}) = \textup{٥}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١٢٠}\text{س} + \textup{٢٠٠}$ دينارًا ، حيث س عدد الوحدات المنتجة من سلعة ما ، فجد قيم س التي تجعل الربح أكبر ما يُمكن . (٨ علامات)