امتحان الرياضيات الوزاري 2022، الدورة العامة، أدبي، شرعي، معلوماتية، صحي، فندقي جامعات، نموذج d-c210

إذا كان هـ(س) اقترانًا قابلاً للاشتقاق ، وكان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٣}\text{س} \times \text{هـ}(\text{س})$ ، $\text{ق}(-\textup{٢}) = -\textup{٢٤}$ ، $\text{قَ}(-\textup{٢}) = \textup{٢٤}$ ، فما قيمة $\text{هـَ}(-\textup{٢})$ ؟

إذا كان $\text{ص} = \text{ق}(\text{س})$ ، وكان مقدار التغير في قيمة الاقتران ق عندما تتغير س من $\text{س}_{\textup{١}}$ إلى $\text{س}_{\textup{١}} + \text{هـ}$ هو $\Delta \text{ص} = \textup{٤}\text{س}^{\textup{٢}} \text{هـ} - \textup{٥}\text{س} \text{هـ}^{\textup{٢}}$ ، فما قيمة $\text{قَ}(-\textup{١})$ ؟

** إذا كان $\text{ق}(\text{س})$ ، $\text{هـ}(\text{س})$ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{ق}(\textup{٣}) = \textup{٢}$ ، $\text{قَ}(\textup{٣}) = -\textup{١}$ ، $\text{هـ}(\textup{٣}) = \textup{٤}$ ، $\text{هـَ}(\textup{٣}) = -\textup{٢}$ ، فأجب عن الفقرتين (١٣) ، (١٤) الآتيتين: ما قيمة $(\textup{٤}\text{هـ} - \textup{٥}\text{ق})^{\prime}(\textup{٣})$ ؟

** إذا كان $\text{ق}(\text{س})$ ، $\text{هـ}(\text{س})$ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{ق}(\textup{٣}) = \textup{٢}$ ، $\text{قَ}(\textup{٣}) = -\textup{١}$ ، $\text{هـ}(\textup{٣}) = \textup{٤}$ ، $\text{هـَ}(\textup{٣}) = -\textup{٢}$ ، فأجب عن الفقرتين (١٣) ، (١٤) الآتيتين:

ما قيمة $\left(\dfrac{-\textup{٤}}{\text{ق}}\right)^{\prime}(\textup{٣})$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \sqrt{\textup{١} - \textup{٤}\text{س}}$ ، $\text{س} < \dfrac{\textup{١}}{\textup{٤}}$ ، فما قيمة $\text{قَ}(-\textup{٢})$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\textup{٥} - \text{س}^{\textup{٢}})^{-\textup{٣}}$ ، فما قيمة $\text{قَ}(\textup{٢})$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتا}^{\textup{٦}} \textup{٣}\text{س}$ ، فإن $\text{قَ}(\text{س})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س} - \text{جا} \text{س}$ ، فإن قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{هـ} \to \textup{٠}} \dfrac{\text{ق}(\text{س}) - \text{ق}(\text{س} + \text{هـ})}{\text{هـ}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\dfrac{\textup{٥}}{\textup{٣}}} + \textup{٢}$ ، فإن ميل المماس لمنحنى الاقتران ق عند النقطة $(-\textup{١} \text{،} \textup{١})$ يساوي:

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = \text{ن}^{\textup{٢}}(\textup{٣}\text{ن} - \textup{٤})$ ، حيث ف المسافة التي يقطعها الجُسيم بالأمتار ، ن الزمن بالثواني ، ما سرعة الجُسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة ؟

** معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران ق ، أجب عن الفقرتين (٢١) ، (٢٢) الآتيتين: ما الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق متناقصًا ؟

** معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران ق ، أجب عن الفقرتين (٢١) ، (٢٢) الآتيتين:

ما قيمة س التي يكون للاقتران ق عندها قيمة صغرى محلية ؟

إذا كان اقتران التكلفة الكلية لإنتاج س قطعة من منتج ما مُعطى بالعلاقة $\text{ك}(\text{س}) = \textup{٣٠٠} - \textup{٥}\text{س} + \text{س}^{\textup{٢}}$ دينارًا ، فما التكلفة الحدية لإنتاج (١٠) قطع من هذه السلعة ؟

إذا كان للاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{م} \text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٨} \text{س} + \textup{٥}$ قيمة حرجة عند $\text{س} = \textup{١}$ ، فما قيمة الثابت م ؟

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٩}\text{ن}^{\textup{٢}} - \text{ن}^{\textup{٣}}$ ، حيث ن الزمن بالثواني ، ف المسافة المقطوعة بالأمتار ، ما المسافة التي يقطعها الجُسيم بالأمتار حتى يُصبح تسارعه صفرًا ؟

السؤال الثاني: (٤٠ علامة)

أ) جد قيمة النهاية في كل مما يأتي (إن وجدت): (١٨ علامة)

١) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} \dfrac{\textup{٨}\text{س}^{\textup{٣}} - \textup{٤}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٢٤}\text{س}}{\textup{٩}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٣٦}}$

٢) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to -\textup{١}} \dfrac{\dfrac{\textup{١}}{\textup{٤}\text{س}} - \dfrac{\textup{٢}}{\text{س} - \textup{٧}}}{\text{س} + \textup{١}}$

ب) إذا كان كل من الاقترانين ق ، هـ ، متصلاً عند $\text{س} = \textup{٣}$ ، وكان $\text{ق}(\textup{٣}) = \textup{٦}$ ، $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} \dfrac{\text{هـ}(\text{س}) - \text{س}}{\textup{٢}\text{ق}(\text{س})} = -\textup{١}$ ، جد قيمة $\text{هـ}(\textup{٣})$ ؟ (١٠ علامات)

ج) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٢}\text{س} + \text{أ} \text{ ،} & \text{س} < \textup{٤} \\ \textup{٦} \text{ ،} & \text{س} = \textup{٤} \\ \text{س}^{\textup{٢}} - \text{أس} + \textup{٣}\text{ب} \text{ ،} & \text{س} > \textup{٤} \end{cases}$

وكان الاقتران ق متصلاً عند $\text{س} = \textup{٤}$ ، فجد قيمة كل من الثابتين أ ، ب . (١٢ علامة)

السؤال الثالث: (٣٦ علامة)

أ) إذا كان معدّل تغيّر الاقتران ق في الفترة $[-\textup{٤} \text{،} \textup{٢}]$ يساوي ٣ ، وكان $\text{هـ}(\text{س}) = \textup{٤}\text{ق}(\text{س}) + \textup{٥} \text{س}$ ، فجد معدّل التغيّر للاقتران هـ في الفترة $[-\textup{٤} \text{،} \textup{٢}]$ . (١٢ علامة)

ب) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٤}\text{س}^{\textup{٣}} - \textup{١}$ ، فجد $\text{قَ}(\text{س})$ باستخدام تعريف المشتقة . (١٢ علامة)

ج) جد $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل مما يأتي عند قيم س المبيّنة إزاء كل منها : (١٢ علامة)

١) $\text{ص} = \textup{٦} - \textup{٥}\text{ع}^{\textup{٢}}$ ، $\text{ع} = \textup{٤}\text{س} - \textup{١}$ ، $\text{س} = \textup{١}$

٢) $\text{ص} = (\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{١})(\textup{٣} - \textup{٢}\text{س}^{\textup{٣}})$ ، $\text{س} = -\textup{١}$

السؤال الرابع: (٢٤ علامة)

أ) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س} + \textup{٧}}{\text{س}^{\textup{٣}} + \textup{١}}$ ، فجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران ق عند $\text{س} = \textup{١}$ (٧ علامات)

ب) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}}(\textup{٤} - \textup{٨}\text{س})$ ، فجد كلًّا مما يأتي للاقتران ق : (٩ علامات)

١) قيم س الحرجة

٢) فترات التزايد والتناقص

٣) القيم القصوى المحلية (إن وجدت) محددًا نوعها .

ج) وجدت شركة لتصنيع وبيع الثلاجات أن الإيراد الناتج عن بيع (س) ثلاجة شهريًا هو $\text{د}(\text{س}) = \textup{٢٤٠}\text{س}$ دينارًا ، وأن الربح الناتج عن بيع س ثلاجة هو $\text{ر}(\text{س}) = \textup{٣٠٠}\text{س} - \textup{٠٫٠٦}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٥٠٠٠}$ دينارًا ، ما عدد الثلاجات اللازم تصنيعها وبيعها شهريًا لتكون التكلفة أقل ما يُمكن ؟ (٨ علامات)