امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة العامة، العلمي + الصناعي جامعات، نموذج d-c209، مع الإجابات

إذا كان ق(س) اقترانًا قابلاً للاشتقاق وكان $هـ(س) = س^{3}ق(س)$ ، حيث $ق(2) = -3$ ، $ق'(2) = 5$ ، فإنّ هـ'(2) تساوي:

إذا كان $ص = \text{جتا}^{2} 2س$ ، فإنّ $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = \frac{\pi}{8}$ تساوي:

إذا كان $ق(س) = \sqrt{س^{2} + 5}$ ، فإنّ $\lim_{س \to 2} \frac{ق(س) - 3}{2 - س}$ تساوي:

إذا كان $ق(س) = 5س - 4(ك + 3)س^{2}$ ، فإنّ قيمة الثابت ك التي تجعل $ق''(س) = 0$ تساوي:

إذا كان $ص = 3ع^{2} - 2ع + 5$ ، $ع = 3 - 2س$ ، فإنّ $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = 0$ تساوي:

إذا كان $ق(س) = \sqrt[3]{س}$ ، فإنّ ق'(-8) تساوي:

إذا كان $ق(س) = س\left(2 - \frac{4}{س}\right)$ ، $س \neq 0$ ، فإنّ ق'(-1) تساوي:

إذا كان $ق(س) = \frac{2 - [س]}{\vert{}س\vert{}}$ ، $س \neq 0$ ، فإنّ $ق'\left(-\frac{1}{3}\right)$ تساوي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق وكان $هـ\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ ، $هـ'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$ ، $ق(س) = ك س^{2}$ ، $ك \in ح$ ، $(ق \circ هـ)'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -24$ ، فإنّ قيمة الثابت ك تساوي:

إذا كان هـ ، ل اقترانين قابلين للاشتقاق وكان $ل(س) = هـ(\text{قا} 2س)$ ، $هـ'(2) = 1$ ، فإنّ $ل'\left(\frac{\pi}{6}\right)$ تساوي:

إذا كانت معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران ق عند النقطة $(1 , 4)$ تعطى بالعلاقة: $3ص = 5س + 7$ ، فإنّ ق'(1) تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى ق' للاقتران ق المعرّف على مجموعة الأعداد الحقيقية ح ، فإنّ منحنى الاقتران ق يكون مقعرًا للأسفل في الفترة:

إذا كانت $ف(ن) = 20ن - 5ن^{2}$ هي العلاقة الزمنية لحركة جُسيم على خط مستقيم حيث ف: المسافة بالأمتار ، ن: الزمن بالثواني، فإنّ اللحظة الزمنية بالثواني التي يكون فيها تسارع الجُسيم مثلي سرعته تساوي:

يتحرك جُسيم على خط مستقيم وفق العلاقة $ف(ن) = \sqrt{2ن^{2} + 18}$، حيث ف: المسافة بالأمتار، ن: الزمن بالثواني. ما المسافة التي يقطعها الجُسيم عندما تكون سرعته 1 م/ث ؟

إذا كان $ق(س) = س^{3} - 12س + 1$ ، $س \in [1 , 3]$ ، فإنّ مجموعة قيم س الحرجة للاقتران ق هي:

جد كلا مما يأتي:

1. $\lim_{س \to 1} \frac{\sqrt{3 + س^{3}} - 2}{س - 1}$

جد كلا مما يأتي:

2. $\lim_{س \to 0} \frac{\text{جا} 2س - 2\text{جا} س}{س^{3}}$

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} \frac{س^{3} - 8}{2 - س} , & 1 < س < 2 \\ [س] - س , & 2 \leq س \leq 3 \end{cases}$ ، فابحث في اتصال الاقتران ق على مجاله.

إذا كان $ق(س) = س + \frac{1}{\sqrt{س}}$ ، $س > 0$ ، فجد ق'(4) باستخدام تعريف المشتقة.

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} أس^{3} + بس + 9 , & س \geq 1 \\ أس^{2} + 3بس - 3 , & س < 1 \end{cases}$ ، وكانت ق'(1) موجودة ، فجد قيمة كلّاً من الثابتين أ ، ب .

أ) جد معادلتي المماسين لمنحنى العلاقة: $س = ص^{2} - 3ص$ عند نقطتي تقاطع منحناها مع محور الصادات. (١٢ علامة)

ب) إذا كان $ق(س) = 3س^{2} - س^{3} + 2$ ، $س \in [-5 , 5]$ ، فجد كلاً ممّا يأتي: (١٢ علامة)

1. فترات التزايد وفترات التناقص لمنحنى الاقتران ق .

2. القيم القصوى للاقتران ق (إن وجدت) مبينًا نوعها.

3. الفترة (الفترات) التي يكون فيها منحنى الاقتران ق مقعرًا للأعلى.

أ) بالون كروي الشكل حجمه $60\pi$ سم³ ، يتناقص حجمه نتيجة تسرّب الغاز منه بمعدل ثابت مقداره $4\pi$ سم³/ث ، بحيث يبقى محافظاً على شكله الكروي. جد معدل تغيّر مساحة سطح هذا البالون بعد مرور 6 ثوانٍ من بدء تسرّب الغاز منه. (١٢ علامة)

ب) يمثّل الشكل المجاور حائطًا عموديًا ارتفاعه 3 أمتار، ويبعد 3 أمتار عن أحد المنازل. جد طول أقصر سُلّم يصل من الأرض إلى أعلى المنزل مرتكزًا على الحائط . (١٢ علامة)