امتحان الرياضيات الوزاري 2022، الدورة العامة، العلمي + الصناعي (مسار الجامعات

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\textup{٤} - [\text{س}])\,\text{جا}\dfrac{\pi}{\text{س}}$ ، فإن $\text{ق}^{\prime}\left(\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}\right)$ تساوي:

• معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق ، أجب عن الفقرتين ١٢ ، ١٣ الآتيتين:

١٢) ما قيمة $\left(\dfrac{\text{ق}^{\prime}}{\text{ق}^{\textup{٢}}}\right)^{\prime}(\textup{٠})$ ؟

• معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق ، أجب عن الفقرتين ١٢ ، ١٣ الآتيتين:

١٣) ما قيمة $\text{ق}^{\prime}(-\textup{١})$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٤}\text{س}^{\text{ن} - \textup{١}}$ ، ن عدد صحيح موجب ، وكان $\text{ق}^{\prime\prime\prime}(\text{س}) = \text{أ}$ ، أ عدد حقيقي موجب ، فإن قيمة المقدار $\text{أ} - \textup{٢}\text{ن}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\textup{٢}\text{س}) = \dfrac{\text{د}}{\text{دس}}(\textup{٢} - \text{س})^{-\textup{١}}$ ، فإن $\text{ق}^{\prime}(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}} - \textup{٢}\text{س}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \vert{}\textup{١} - \text{س}\vert{}$ ، فإن قيمة $(\text{ق} \circ \text{هـ})^{\prime}(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{ص} = \text{ق}(\text{س})$ ، وكان $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}} = \text{أ}\sqrt{\text{ص}}$ ، $\text{أ} > \textup{٠}$ ، $\text{ص} > \textup{٠}$ ، $\dfrac{\text{د}^{\textup{٢}}\text{ص}}{\text{دس}^{\textup{٢}}} = \textup{٣٢}$ ، فإن قيمة الثابت أ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = -(\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١})$ والمماس $\overleftrightarrow{\text{ل}}$ المرسوم من النقطة $(\textup{٠} \text{،} \textup{٣})$ يمس منحنى الاقتران ق عند النقطة و ، فإن معادلة المماس $\overleftrightarrow{\text{ل}}$ هي:

النقطة الواقعة على منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٢}\text{س} - \textup{٣}$ التي يكون عندها المماس لمنحنى الاقتران ق موازيًا للمستقيم الذي معادلته $\text{ص} - \textup{٤}\text{س} = -\textup{٢٠}$ هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س} + \text{جتاس}$ ، $\text{س} \in [\textup{٠} \text{،} \textup{٢}\pi]$ ، فإن قيمة س التي يكون عندها للاقتران ق مماسًا أفقيًا تساوي:

أُسقِط جسم من ارتفاع ١٨٩ مترًا عن سطح الأرض سقوطًا حرًا ، حيث إنّ المسافة المقطوعة بالأمتار بعد ن ثانية تُعطى بالعلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٥}\text{ن}^{\textup{٢}}$ ، ما سرعة الجسم وهو على ارتفاع ٦٤ مترًا عن سطح الأرض؟

يتحرك جُسيم على خط مستقيم وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٦}\text{ن}^{\textup{٢}} - \text{ن}^{\textup{٣}} + \textup{٧}$ ، حيث ف : المسافة بالأمتار ، ن : الزمن بالثواني ، فإنّ المسافة التي يقطعها الجُسيم بالأمتار في اللحظة التي ينعدم فيها تسارعه تساوي:

• معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الثانية للاقتران ق المعرّف على الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ ، أجب عن الفقرتين ٢٣ ، ٢٤ الآتيتين:

٢٣) مجموعة قيم س التي يغيّر الاقتران ق اتجاه تقعره حولها هي:

• معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الثانية للاقتران ق المعرّف على الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ ، أجب عن الفقرتين ٢٣ ، ٢٤ الآتيتين:

٢٤) الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق مقعرًا للأسفل هي:

إذا كان لمنحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}} - \text{أس}^{\textup{٢}} + \text{بس} + \textup{٢}$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ ، نقطة انعطاف عند النقطة $(\textup{٢} \text{،} \textup{٤})$ ، فإنّ قيمة كل من الثابتين أ ، ب على الترتيب:

السؤال الثاني: (٣٢ علامة)

أ) جد كلاً من النهايات الآتية:

١) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} \dfrac{\text{س}\sqrt{\text{س} + \textup{٢}} - (\text{س} + \textup{٢})}{\textup{٤} - \textup{٢}\text{س}}$ (١٠ علامات)

٢) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٠}} \dfrac{\text{جتا}^{\textup{٣}}\textup{٣}\text{س} - \text{جتا}^{\textup{٢}}\textup{٢}\text{س}}{\textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}}}$ (١٠ علامات)

ب) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \dfrac{\textup{١٦} - \text{س}^{\textup{٤}}}{\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{س}} \text{ ،} & -\textup{٣} \le \text{س} < -\textup{٢} \\ (\textup{٢} - \text{س})^{\textup{٢}}[\text{س} + \textup{١}] \text{ ،} & -\textup{٢} \le \text{س} < -\textup{١} \end{cases}$ ، فابحث في اتصال الاقتران ق على الفترة $[-\textup{٣} \text{،} -\textup{١})$ (١٢ علامة)

السؤال الثالث: (٢٢ علامة)

أ) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\textup{٣}}{(\textup{٢}\text{س} + \textup{١})^{\textup{٢}}}$ ، فجد $\text{ق}^{\prime}(\textup{١})$ باستخدام تعريف المشتقة. (١٢ علامة)

ب) إذا كان معدل التغير في الاقتران هـ على الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ يساوي ٤ ، وكان معدل التغير في الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٣}\text{هـ}(\text{س}) - \dfrac{\text{أ}}{\text{س}}$ ، $\text{س} \ne \textup{٠}$ ، على الفترة نفسها يساوي ١٣ ، فجد قيمة الثابت أ (١٠ علامات)

السؤال الرابع: (٢٢ علامة)

أ) إذا كان $(\text{ص} + \textup{٢})^{\textup{٢}} - \text{ص}^{\textup{٢}} = \textup{٢}\text{س} \text{ص}$ ، فأثبت أن : $(\text{س} - \textup{٢})^{\textup{٣}}\text{ص}^{\prime\prime} = \textup{٤}$ (١٠ علامات)

ب) إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س}}{\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٤}}$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ فجد كلاً مما يأتي:

١) فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران ق .

٢) القيم القصوى للاقتران ق (إن وجدت) مبيّنًا نوعها .

٣) فترات التقعر للأعلى للاقتران ق ، إذا علمت أن $\text{ق}^{\prime\prime}(\text{س}) = \dfrac{\textup{٢}\text{س}^{\textup{٣}} - \textup{٢٤}\text{س}}{(\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٤})^{\textup{٣}}}$ (١٢ علامة)

السؤال الخامس: (٢٤ علامة)

أ) وعاء على شكل مخروط دائري قائم رأسه إلى أسفل ، ارتفاعه ١٥سم ، وطول نصف قطر قاعدته ٥سم ، صُبَّ الماء فيه بمعدل $\textup{٨}\pi$ سم³ / ث . ما معدل تغيّر ارتفاع الماء في الوعاء في اللحظة التي يكون فيها قد مضى ٨ ثوانٍ على بدء صَبّ الماء ؟ (١٢ علامة)

ب) يقف رجل عند النقطة أ على بعد ٣ كم شمال النقطة ب ، يريد الوصول إلى النقطة جـ الواقعة غرب النقطة ب وتبعد عنها ٧ كم مرورًا بالنقطة د ، فإذا كان الرجل يسير بسرعة ٢ كم/س عند الانتقال من أ إلى د ، ويسير بسرعة ٤ كم/س عند الانتقال من د إلى جـ ، فجد موقع النقطة د ليصل الرجل إلى النقطة جـ بأقصر وقت ممكن . (انظر الشكل التوضيحي المجاور) (١٢ علامة)