امتحان الرياضيات الوزاري 2026، الدورة العامة، الورقة الثانية، المنهاج القديم، مع الإجابات

يُبيّن الشكل الآتي مُنحنى السرعة – الزمن لجسم يتحرّك على المحور $x$ في الفترة $[0, 8]$ . إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 2$ عندما $t = 0$ ، فإنّ الموقع النهائي للجسم هو:

حَلّ المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = y + 2xy$ الذي تُحقّقه النقطة $(1, 1)$ هو:

إذا كانت: $A(5, -6, -2)$ ، وكانت: $N(-3, 0, 2)$ نقطة منتصف $\overline{AB}$ ، فإنّ إحداثيات النقطة $B$ هي:

المُتّجه الذي مقداره 52، وله اتّجاه المُتّجه $\vec{v}$ نفسه، حيث: $\vec{v} = \langle 4, -12, 3 \rangle$ هو:

إذا كان: $\vec{u} = \langle 3, 5, -7 \rangle$ ، و $\vec{v} = \langle -4, 3, -6 \rangle$ ، فإنّ $3\vec{u} - \vec{v}$ تساوي:

إذا كانت: $A(-4, 13, 22), B(4, 17, 14), D(2, -29, 7)$ ، وكانت $C$ نقطة في الفضاء حيث: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ ، فإنّ مُتّجه الموقع للنقطة $C$ هو:

إذا كانت: $A(-5, 11, 6), B(4, 0, -8)$ ، فإنّ مُتّجه الإزاحة من النقطة $A$ إلى النقطة $B$ هو:

في الشكل الآتي $UVWX$ متوازي أضلاع. إذا كان: $\overrightarrow{UX} = 8\vec{b}$ ، و $\overrightarrow{UV} = 3\vec{a}$ ، وكان: $\overrightarrow{XW} = k\,\overrightarrow{WZ}$ ، وكانت النقطة $Y$ تقع على $\overline{VW}$ حيث: $VY = 3YW$ ، و $\overrightarrow{YZ} = 2\vec{b} + \vec{a}$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان: $\vec{v} = \langle 2, 4, \alpha \rangle , \vec{w} = \langle \alpha, 10, -2\alpha \rangle$ ، وكان المتّجهان $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مُتعامدين، فإنّ القيمتين المُمكنتين للثابت $\alpha$ هما:

إذا كانت: $P(3, -4, 2)$ نقطة غير واقعة على المستقيم $l$ ، وكانت $F(12, -16, 8)$ مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$ ، فإنّ البُعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$ (بوحدات الطول) هو:

بدأ مهندس اختبار رُقاقات إلكترونية واحدة تلو الأخرى على أن يتوقّف عند إيجاد أوّل رُقاقة مَعيبة. إذا كان احتمال أن تكون الرُّقاقة الإلكترونية مَعيبة هو 0.1 ، فإنّ احتمال أن يتوقّف المهندس بعد سَحْبه 3 رُقاقات هو:

إذا كان: $X \sim B(n, p)$ ، وكان: $E(X) = 2.4\ ,\ \mathrm{Var}(X) = 1.44$ ، فإنّ قيمة $n$ هي:

إذا كان $Z$ متغيّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا معياريًّا، وكان: $P(Z < 0.88) = 0.8106$ ، و $P(Z < 1.65) = 0.9505$ ، فإنّ مساحة المنطقة المُظلّلة أسفل مُنحنى التوزيع الطبيعي المعياري المُبيّنة في الشكل الآتي هي:

إذا كان $Z$ متغيّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا معياريًّا، وكان: $P(Z > z) = 0.1151$ ، فإنّ $P(-z < Z < z)$ هو:

إذا كان: $X \sim N(9, 25)$ ، وكان: $P(Z < 1.6) = 0.9452$ ، فإنّ قيمة $x$ التي تُحقّق الاحتمال $P(X > x) = 0.0548$ هي:

⁦a)⁩‎ جد كلًّا من التكاملات الآتية:

1. $\int \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 2x - 3}\, dx$ (8 علامات)

2. $\int \cos\sqrt{x}\, dx$ (10 علامات)

⁦b)⁩‎ جد مساحة المنطقة المحصورة بين مُنحنيي الاقترانين:

$f(x) = (x-1)^2\ ,\ g(x) = 3 - x$ (9 علامات)

⁦a)⁩‎ جد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين مُنحنيي الاقترانين الآتيين حول المحور $x$ :

$f(x) = \sqrt{x+1}\ ,\ g(x) = x^2 + 2x + 1$ (9 علامات)

⁦b)⁩‎ يتحرّك جسم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{ds}{dt} = s(3t^2 + 3t)$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ موقع الجسم بالأمتار. جد موقع الجسم بعد ثانيتين من بدء الحركة، علمًا بأنّ $s(0) = 1$ . (10 علامات)

⁦a)⁩‎ في الشكل الرباعي $ABCD$ المجاور مُدَّ $\overline{AD}$ على استقامته ليصل إلى النقطة $E$ ، حيث: $AD = 2DE$ . إذا كان: $\overrightarrow{DA} = \vec{b}\ ,\ \overrightarrow{DC} = \vec{a}\ ,\ \overrightarrow{AB} = 3\vec{a}$ . فاستعمل $\vec{a}$ و $\vec{b}$ في إثبات أنّ $E$ و $C$ و $B$ تقع على استقامة واحدة. (14 علامة)

⁦b)⁩‎ إذا كانت: $A(-3, 1, 4)\ ,\ B(1, 5, -4)\ ,\ C(2, -1, 0)$ ، فأجب عن كلٍّ ممّا يأتي:

1. بيّن أنّ النقطة $S(-13, 5, 12)$ تقع على المستقيم $\overleftrightarrow{AC}$ .

2. جد مساحة المثلث $ABC$ . (قرّب الناتج لأقرب عدد صحيح)

(20 علامة)

⁦a)⁩‎ في تجربة زراعية لدراسة إنبات نوع من البذور، تبيّن أنّ احتمال إنبات البذرة الواحدة في ظروف محدّدة هو $\frac{3}{5}$ . إذا زُرِعت 5 بذور من النوع نفسه عشوائيًّا في الظروف نفسها، فجد كلًّا ممّا يأتي في صورة كسر عادي بأبسط صورة:

1. احتمال أن تَنبُت بذرتان فقط.

2. احتمال أن لا تَنبُت أيّ بذرة.

(10 علامات)

⁦b)⁩‎ يدلّ المتغيّر العشوائي الطبيعي $X \sim N(\mu, 0.25)$ على أطوال شرائح معدنية (بالسنتيمتر) يُنتِجها أحد المصانع. إذا اختيرت شريحة معدنية عشوائيًّا، فجد احتمال أن يزيد طولها على ⁦49.7 cm⁩ ، علمًا بأنّ 2.5% من أطوال الشرائح تزيد على ⁦50.98 cm (⁩قرّب الناتج لأقرب 4 منازل عشرية)

(10 علامات)

ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يُمثّل بعضًا من قِيَم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.