امتحان الرياضيات الوزاري 2021، الدورة العامة، العلمي + الصناعي (مسار الجامعات

إذا كان ق اقتران كثير حدود ، وكانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}} \dfrac{\text{ق}(\text{س}) - \textup{٢}}{\text{س} - \textup{١}} = \textup{١٠}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \dfrac{\text{س}^{\textup{٢}}}{\text{ق}(\text{س})}$ ، حيث $\text{ق}(\text{س}) > \textup{٠}$ ، فإن $\text{هـ}'(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \sqrt{\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٥}}$ ، فإن $\dfrac{\text{د}}{\text{دس}}\left(\sqrt{\text{ق}(\textup{٢}\text{س})}\right)$ عند $\text{س} = \textup{١}$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرّف على الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٥}]$ ، أجب عن الفقرتين ١٣ ، ١٤ الآتيتين:

معدل التغير في الاقتران ق في الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٥}]$ يساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرّف على الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٥}]$ ، أجب عن الفقرتين ١٣ ، ١٤ الآتيتين:

$\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{هـ} \to \textup{٠}} \dfrac{\text{ق}(\textup{٤} + \text{هـ}) - \text{ق}(\textup{٤} - \text{هـ})}{\text{هـ}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتاس} - \dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}\text{س}$ ، $\text{س} \in [\pi \text{،} \dfrac{\textup{٣}\pi}{\textup{٢}}]$ ، فإن قيمة س التي تجعل المماس لمنحنى الاقتران ق أفقيًا تساوي:

إذا كان مقدار التغير في الاقتران ق في الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ يساوي ٨ ، فإن معدل التغير في الاقتران $\text{هـ}(\text{س}) = \textup{٤}\text{ق}(\text{س}) + \text{س}^{\textup{٢}}$ على الفترة نفسها يساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = ((\text{س} + \textup{٢})^{\textup{٢}} + \textup{٢})^{\textup{٢}}$ ، $\text{س} \in [-\textup{٢} \text{،} \textup{٢}]$ ، فإن $\text{ق}'(-\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{س} + \textup{٢} & , \textup{٠} \le \text{س} < \textup{١} \\ [\text{س}] + \textup{٤}\text{س} & , \textup{١} \le \text{س} < \textup{٢} \end{cases}$ ، فإن $\text{ق}'(\textup{١})$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق ، المعرّف على مجموعة الأعداد الحقيقة ح ، ما قيمة $\text{ق}'(\textup{٣})$؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\pi}{\textup{١} - \text{س}}$ ، $\text{س} \ne \textup{١}$ ، فإن $\text{ق}'(-\textup{١})$ تساوي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{ق}(\textup{١}) = \textup{٢}$ ، $\text{هـ}(\textup{١}) = -\textup{١}$ ، $\text{ق}'(\textup{١}) = \textup{٢}$ ، $\text{هـ}'(\textup{١}) = -\textup{٦}$ ، فإن $\left(\dfrac{\text{ق} + \text{هـ}}{\text{هـ}}\right)'(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\text{ن}}$ ، ن عدد صحيح موجب ، وكانت $\text{ق}'''(\text{س}) = \text{جـ}\,\text{س}$ ، فإن قيمة الثابت جـ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س}\,\text{جتاس}$ ، فإن $\text{ق}'(\dfrac{\pi}{\textup{٤}})$ تساوي:

إذا كان ق كثير حدود من الدرجة الثانية فيه $\text{ق}(\textup{١}) = \textup{٢}$ ، $\text{ق}'(\textup{١}) = -\textup{٣}$ ، $\text{ق}''(\textup{١}) = \textup{٢}$ ، فإن قاعدة الاقتران ق هي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{هـ}(\textup{٢}) = -\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ ، $\text{ق}'(-\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}) = -\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ ، $\text{هـ}'(\textup{٢}) = -\dfrac{\textup{١}}{\textup{٤}}$ ، فإن $(\text{ق} \circ \text{هـ})'(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{جتاس} = \text{ص}^{\textup{٢}}$ ، فإن قيمة $\text{ص}^{\textup{٣}}(\textup{٤}\text{ص}'' + \text{ص})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}'(\dfrac{\textup{١}}{\textup{٣}})$ يساوي ميل المستقيم الذي معادلته: $\textup{٢}\text{ص} = \textup{١٠}\text{س} - \textup{١}$ ، فإن $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} \dfrac{\text{ق}(\dfrac{\textup{١}}{\text{س}}) - \text{ق}(\dfrac{\textup{١}}{\textup{٣}})}{\text{س} - \textup{٣}}$ تساوي:

النقطة الواقعة على منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٧}\text{س} + \textup{١}$ والتي يصنع عندها المماس لمنحنى الاقتران ق زاوية قياسها $(\dfrac{\pi}{\textup{٤}})$ راد مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرّف على الفترة $[\text{هـ} \text{،} \text{ن}]$ ، ما قيمة س التي تكون عندها $\text{ق}'(\text{س}) > \textup{٠}$ ، $\text{ق}''(\text{س}) < \textup{٠}$ ؟

يتحرك جُسيم على خط مستقيم وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٨}\text{ن} - \textup{٥}\text{ن}^{\textup{٢}}$ ، حيث ف: المسافة بالأمتار ، ن: الزمن بالثواني ، ما اللحظة بالثواني التي يكون عندها تسارع الجُسيم يساوي خمسة أمثال سرعته؟

في الشكل المجاور تتحرك النقطة أ(س ، ص) في الربع الأول على منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \sqrt{\text{س}} + \textup{٥}$ بحيث يزداد الاحداثي السيني لها بمعدل ٣ سم/د ، ما معدل التغير في مساحة المستطيل أ ب و جـ عندما $\text{س} = \textup{٤}$ سم ؟

مكعب من الجليد ينصهر بسبب الحرارة بمعدل ٢٤ سم³/د محافظاً على شكله ووضعه، ما معدل تغيّر مساحته الكلية عندما تكون مساحة أحد أوجهه ٨١ سم² .

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} + \textup{٢}$ ، $\text{س} \in (\textup{٠} \text{،} \dfrac{\textup{٣}\pi}{\textup{٢}}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٣ ، ٣٤ ، ٣٥ الآتية:

الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق متناقصاً هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} + \textup{٢}$ ، $\text{س} \in (\textup{٠} \text{،} \dfrac{\textup{٣}\pi}{\textup{٢}}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٣ ، ٣٤ ، ٣٥ الآتية:

للاقتران ق قيمة صغرى محلية ومطلقة عند س تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} + \textup{٢}$ ، $\text{س} \in (\textup{٠} \text{،} \dfrac{\textup{٣}\pi}{\textup{٢}}]$ ، فأجب عن الفقرات ٣٣ ، ٣٤ ، ٣٥ الآتية:

الفترة (الفترات) التي يكون فيها منحنى الاقتران ق مقعرًا للأسفل هي:

جد: $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٣}} \dfrac{\text{س}^{\textup{٢}}\,\text{جتا}\pi \text{س} + \textup{٩}}{\text{س} - \textup{٣}}$

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \sqrt{\vert{}\text{س} - \textup{١٠}\vert{} - [\dfrac{\text{س} + \textup{١}}{\textup{٢}}]} & , \textup{٣} \le \text{س} \le \textup{٤} \\ \dfrac{\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{١٦}}{\textup{٤}\text{س} - \textup{١٦}} & , \textup{٤} < \text{س} < \textup{٦} \end{cases}$ ، فابحث في اتصال الاقتران ق على مجاله.

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\sqrt{\text{س}} + \text{س}^{\textup{٢}})^{\textup{٢}}$ ، $\text{س} > \textup{٠}$ ، فجد $\text{ق}'(\textup{١})$ باستخدام تعريف المشتقة .

إذا كان المستقيم $\textup{٤}\text{ص} + \text{س} = \textup{٣}$ يمس منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\textup{٢}}{\text{س}^{\textup{٢}} + \text{جـ}}$ ، $\text{س} > \textup{٠}$ ، $\text{جـ} > \textup{٠}$ عند نقطة الانعطاف $(\text{س}_{\textup{١}} \text{،} \text{ص}_{\textup{١}})$ لمنحنى الاقتران ق، فجد قيمة الثابت جـ .

معتمدًا الشكل المجاور الذي يُمثل المثلث أ ب جـ الذي فيه الضلع ب جـ منطبق على محور السينات وضلعه أ جـ على المستقيم الذي معادلته $\text{ص} = \textup{٣}\text{س}$ ، ويمر ضلعه الثالث أ ب بالنقطة $(\textup{١} \text{،} \textup{١})$ ، ما ميل الضلع أ ب الذي يجعل مساحة المثلث أ ب جـ أقل ما يمكن؟