امتحان الرياضيات الوزاري 2026، الدورة العامة، الورقة الأولى، المنهاج القديم، مع الإجابات

إذا كان الاقتران: $N(t) = 200\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{t+1}}$ , $t \ge 0$ يُمثّل عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ ساعة في مجتمع بكتيري، فإنّ معدّل نموّ المجتمع بعد ساعة واحدة (بالخلية لكل ساعة) هو:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يُبيّن التمثيل البياني لمنحنى الاقتران $f(x)$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة صغرى محلّيّة ومُطلَقة هي:

يُنفَخ بالون على شكل كرة، بحيث يزداد نصف قطره بمعدل $\frac{1}{4}\text{ cm/s}$ ، فإنّ معدّل تغيّر حجم البالون عندما يكون نصف قطره $8\text{ cm}$ هو:

إذا كان: $f(x) = \sqrt[3]{x} + 2$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة عظمى مُطلَقة في الفترة $[-8, 8]$ هي:

إذا كان: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ ، فإنّ منحنى الاقتران $f(x)$ يكون مُقعّرًا للأسفل على الفترة:

يُمثّل الاقتران $s(t)$ المُبيّن منحناه في الشكل الآتي موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني. إذا كان تسارع الجسم يساوي صفرًا عندما $t = 4$ ، فإنّ الفترة التي تتزايد فيها سرعته هي:

تُنتِج مزرعة تفاح 20 صندوقًا من الشجرة الواحدة تقريبًا عند زراعة 16 شجرة في كل دونم من الأرض. إذا كان إنتاج الشجرة الواحدة يقلّ بمقدار صندوق واحد عند زراعة شجرة إضافيّة في كل دونم بسبب تقارب الأشجار، فإنّ عدد الأشجار التي يجب زراعتها في كلّ دونم لتحقيق أكبر إنتاج ممكن هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

الصورة المُثلثيّة للعدد المركّب $w = -4i(1+i)$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان $z$ عددًا مركّبًا، وكان $z + 2\bar{z} = 3 + 2i$ ، فإنّ $z$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = a + i$ ، وكان: $\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{6}$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 1 + 8i$ ، و $w = 1 - i$ ، فاعتمد ذلك للإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

ناتج $\frac{z}{w}$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 1 + 8i$ ، و $w = 1 - i$ ، فاعتمد ذلك للإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

ناتج $2z - 3w$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

معادلة المحلّ الهندسي (بدلالة $z$) المُمثّلة في الشكل الآتي هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 5 - 3i$ هو أحد جذور المعادلة: $x^2 + ax + b = 0$ ، حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، فإنّ قيمة $a + b$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z_1 = 1 + i$ ، و $z_2 = 2 - 4i$ ، فإنّ $\vert{}z_1 z_2\vert{}$ هو:

⁦a)⁩‎ إذا كان $y = 3\cos(\ln x) + 2\sin(\ln x)$ , $x > 0$ ، فبيّن أنّ: $x^2 y'' + x y' + y = 0$

(10 علامات)

⁦b)⁩‎ تُحسب قيمة بدل الخدمة لأحد المنتجات بالدينار باستعمال الاقتران: $U(x) = 120\sqrt{\frac{3x+6}{2x+5}}$ ، حيث $x$ عدد القطع المبيعة من المنتج. جد كلًّا ممّا يأتي:

1. معدّل تغيّر قيمة بدل الخدمة بالنسبة إلى عدد القطع المبيعة من المنتج.

2. قيمة $U'(10)$ ، مُفسّرًا معنى الناتج.

(10 علامات)

⁦a)⁩‎ جد $\frac{d^2y}{dx^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = 2$ :

(12 علامة)

⁦b)⁩‎ جد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^3 + y^2 = 1 + \ln(x+y)^2$ ، عند النقطة $(1, 0)$ .

(10 علامات)

⁦c)⁩‎ يلتقي طريقان مستقيمان عند النقطة $R$ بزاوية قياسها $\frac{\pi}{3}$ كما يظهر في الشكل المجاور. إذا انطلقت السيارة $A$ من النقطة $R$ على أحد الطريقين بسرعة $50\text{ km/h}$ ، وفي اللحظة نفسها انطلقت السيارة $B$ من النقطة $R$ على الطريق الآخر بسرعة $70\text{ km/h}$ ، فجد معدّل تغيّر البُعد بين السيارتين بعد ساعتين من لحظة انطلاقهما.

(10 علامات)

⁦a)⁩‎ جد فترات التزايد وفترات التناقص والقيَم القصوى المحلّيّة (إن وجدت) للاقتران الآتي:

(10 علامات)

⁦b)⁩‎ لدى مزارع $600\text{ m}$ من السياج، وهو يريد تسييج حقله الذي يأخذ شكل شبه منحرف، ويوجد على حافة نهر كما في الشكل المجاور. إذا كان طول أحد الضلعين المتوازيين يساوي 4 أمثال طول الضلع الآخر، فجد أكبر مساحة يمكن للمزارع إحاطتها بهذا السياج، علمًا بأنّ الجزء المقابل للنهر لا يحتاج إلى تسييج.

(10 علامات)

⁦a)⁩‎ جد قيمة $x$ وقيمة $y$ الحقيقيتين اللّتين تجعلان المعادلة الآتية صحيحة:

(7 علامات)

⁦b)⁩‎ جد جميع الجذور الحقيقية والمركّبة للمعادلة:

(9 علامات)

⁦c)⁩‎ جد العددين المركّبين اللّذين يحقّقان كلًّا من المحلّ الهندسي: $\vert{}z + 3 - 3i\vert{} = \vert{}z - 1 - 3i\vert{}$ ، والمحلّ الهندسي: $\vert{}z + 1 - 3i\vert{} = 1$ .

(12 علامة)