امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة التكميلية، الصناعي، مسار التعليم الثانوي المهني الشامل، نموذج s344، مع الإجابات

إذا كان الشكل الآتي يُمثّل العدد المركب $z$ ، فإنّ سعة $\bar{z}$ هي:

مقياس العدد المركب: $z = 4 + 2i\sqrt{5}$ هو:

ناتج: $(3 + 2i)^2$ هو:

ناتج: $\int \frac{e^x}{2-e^x} dx$ هو:

ناتج: $\int \cos(2x - \pi)\,dx$ هو:

إذا كان: $f(x) = \begin{cases} 3 + x & , x < 2 \\ 5 & , x \geq 2 \end{cases}$ ، فإنّ قيمة: $\int_0^2 f(x)\,dx$ هي:

قيمة: $\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx$ هي:

ناتج: ∫ ⁦x e⁻⁩ˣ ⁦dx⁩ هو:

إذا كان: $\vec{v} = \langle b, 2b, b \rangle$ , $\vec{u} = \langle 3, 3a, b \rangle$ ، وكان: $\vec{u} = \vec{v}$ ، فإن قيمة الثابت ⁦a⁩ هي:

إذا كانت: ⁦M(6⁩⁠, -2, 8) , ⁦N(-4⁩⁠, 4, 2) نقطتين في الفضاء، فإن إحداثيات منتصف $\overline{NM}$ هي:

إذا كان: $\vec{v} = \langle -3, 6, -2 \rangle$ ، $\vec{f} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ، فإنّ المُتّجه $\vec{v} - 3\vec{f}$ هو:

إذا كان: $\vec{v} = \langle 1, -1, k \rangle$ ، وكان: $\vert{}\vec{v}\vert{} = 3\sqrt{3}$ ، فإنّ قيم الثابت $k$ المُمكِنة هي:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -3, 4, 0 \rangle$ ، فإنّ متّجه الوحدة باتجاه $\vec{u}$ هو:

إذا كانت: $A(4, 5, -3)$ ، $B(-2, 3, -5)$ نقطتين في الفضاء، فإنّ المُتّجه $\vec{AB}$ بدلالة متّجهات الوحدة الأساسية هو:

إذا كان: $\vec{m} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ ، $\vec{n} = -8\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ ، فإنّ قيمة $\vec{n} \cdot \vec{m}$ هي:

السؤال الثاني: (34 علامة)

⁦a)⁩‎ جد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي عند القيمة المعطاة إزاء كلّ منها: (13 علامة)

1. $y = e^{2x}(\tan x - 2x)$ , $x = 0$

2. $y = \left(\frac{2x+1}{x+2}\right)^3$ , $x = 2$

3. $x = t + 2$ , $y = t^2 - 1$ , $t = 1$

⁦b)⁩‎ إذا مثّل الاقتران: $s(t) = 3t^2 - t^3$ , $t \geq 0$ ، موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني، فجد كلًّا ممّا يأتي: (12 علامة)

1. قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

2. تسارع الجسم عندما $t = 2$

3. اللحظة التي يعود فيها الجسم إلى موقعه الابتدائي.

⁦c)⁩‎ جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f(x) = \ln(x^2 + 1) + e^{-x}$ ، عندما $x = 0$ (9 علامات)

السؤال الثالث: (28 علامة)

⁦a)⁩‎ معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $f(x)$ المتصل على الفترة $[0, 6]$ ، جد كلًّا ممّا يأتي: (8 علامات)

1. قيم $x$ التي يكون عندها للاقتران $f(x)$ قيم قصوى محلية، مبيّنًا نوع كلّ منها.

2. فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران $f(x)$

⁦b)⁩‎ جد ناتج العمليات الآتية على مجموعة الأعداد المركّبة بالصورة القياسية: (12 علامة)

1. $(2 + i)(1 - i) - (2 + i)$
2. $\frac{-3 + 3i}{1 + i}$
3. $8\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \times 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

⁦c)⁩‎ إذا كان: $\int_a^{3a}\left(\frac{x+1}{x}\right)dx = \ln 9$ , $a > 0$ ، فجد قيمة الثابت. (8 علامات)

السؤال الرابع: (38 علامة)

⁦a)⁩‎ جد كلًّا من التكاملات الآتية: (16 علامة)

1. $\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{x^2+2}}\,dx$
2. $\int (x + 1)\sin x\,dx$

⁦b)⁩‎ إذا كان: $f'(x) = \frac{(\ln x)^3}{x}$ يُمثّل ميل المماس لمُنحنى $f(x)$ ، فجد قاعدة الاقتران $f(x)$ الذي يمرّ مُنحناه بالنقطة $(1, 2)$ . (8 علامات)

⁦c)⁩‎ إذا كانت: $A(2, 1, -1)$ , $B(5, 1, 7)$ , $C(6, -3, 1)$ ثلاث نقاط في الفضاء، فجد كلًّا ممّا يأتي:

1. الصورة الإحداثية للمُتّجه: $\overrightarrow{BC}$

2. ناتج الضرب القياسي للمُتّجهين: $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$

3. قياس الزاوية بَيْنَ المُتّجهين: $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ إلى أقرب عُشر درجة. (14 علامة)