امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة التكميلية، أدبي، شرعي، فندقي، جامعات، نموذج s103، مع الإجابات

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = \text{ن}^{\textup{٢}} + \textup{٤}\text{ن}$ ، حيث $\text{ف}$ المسافة التي يقطعها الجُسيم بالأمتار، $\text{ن}$ الزمن بالثواني، السرعة المتوسطة للجُسيم في الفترة $[\textup{٢} \text{،} \textup{٤}]$ ثانية تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}}$ ، فإنّ ميل القاطع المارّ بالنقطتين $(\textup{٠} \text{،} \text{ق}(\textup{٠}))$ ، $(\textup{٢} \text{،} \text{ق}(\textup{٢}))$ يساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\textup{٤}}{\text{س}}$ ، $\text{س} \neq \textup{٠}$ ، فإنّ $\text{ق}'(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}\,\text{ظاس}$ ، فإنّ $\text{ق}'(\text{س})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}$ ، $\text{هـ}$ اقترانين قابلين للاشتقاق، وكان $\text{ق}(\textup{٢}) = \textup{١}$ ، $\text{ق}'(\textup{٢}) = -\textup{٢}$ ، $\text{هـ}(\textup{٢}) = -\textup{١}$ ، $\text{هـ}'(\textup{٢}) = \textup{١}$ ، فأجب عن الفقرتين (١٥)، (١٦) الآتيتين:

١٥) قيمة $\left(\dfrac{\textup{٣} + \text{ق}}{\text{هـ}}\right)'(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}$ ، $\text{هـ}$ اقترانين قابلين للاشتقاق، وكان $\text{ق}(\textup{٢}) = \textup{١}$ ، $\text{ق}'(\textup{٢}) = -\textup{٢}$ ، $\text{هـ}(\textup{٢}) = -\textup{١}$ ، $\text{هـ}'(\textup{٢}) = \textup{١}$ ، فأجب عن الفقرتين (١٥)، (١٦) الآتيتين:

١٦) قيمة $(\textup{٢}\text{ق} + \text{هـ})'(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{أ}^{\textup{٢}} \text{س}$ ، $\text{أ}$ عددًا ثابتًا ، فإنّ $\text{ق}'(\text{س})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \sqrt{\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٣}}$ ، فإنّ قيمة $\text{ق}'(\textup{١})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتا}\textup{٢}\text{س} + \text{جا}\textup{٢}\text{س}$ ، فإنّ $\text{ق}(\text{س}) + \text{ق}'(\text{س})$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{أس}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{س} + \textup{٧}$ ، حيث $\text{أ}$ عدد ثابت ، وكان ميل المماس لمنحنى الاقتران $\text{ق}$ عندما $\text{س} = \textup{٢}$ يساوي ١٦ ، فإنّ قيمة الثابت $\text{أ}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\textup{٣}\text{س}}{\text{س} + \textup{٢}}$ ، $\text{س} \neq -\textup{٢}$ ، فإنّ معادلة المماس لمنحنى الاقتران $\text{ق}$ عندما $\text{س} = \textup{١}$ هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $\text{ق}(\text{س})$ المعرَّف على $\text{ح}$ ، أجب عن الفقرتين (٢٢)، (٢٣) الآتيتين:

٢٢) النقطة الحرجة للاقتران $\text{ق}$ هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $\text{ق}(\text{س})$ المعرَّف على $\text{ح}$ ، أجب عن الفقرتين (٢٢)، (٢٣) الآتيتين:

٢٣) الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران $\text{ق}$ متناقصًا هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٤} - \text{س}^{\textup{٢}}$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ ، فإنّ للاقتران $\text{ق}$ قيمة عظمى محلية عندما $\text{س}$ تساوي:

إذا كان $\text{ك}(\text{س}) = \textup{٢٥} + \textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}}$ دينار يُمثل اقتران التكلفة الكلية لإنتاج $\text{س}$ قطعة من سلعة ما، فإنّ التكلفة الحدية لإنتاج (٨) قطع من هذه السلعة تساوي:

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي:

١) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} \dfrac{\text{س}^{\textup{٣}} - \textup{٨}}{\textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{س}}$ (٩ علامات)

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي:

٢) $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٤}} \dfrac{\dfrac{\textup{١}}{\text{س} - \textup{٢}} - \dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}}{\text{س} - \textup{٤}}$ (٩ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٢}\text{أس} - \text{ب} - \textup{١} , & \text{س} < \textup{١} \\ \textup{٤} , & \text{س} = \textup{١} \\ \text{أس}^{\textup{٣}} + \text{بس} , & \text{س} > \textup{١} \end{cases}$ ، وكان الاقتران $\text{ق}$ متصلًا عندما $\text{س} = \textup{١}$ ، فجد قيمة كل من الثابتين $\text{أ}$ ، $\text{ب}$ . (٨ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{س} - \textup{٩}}{\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٩}}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٣} - \text{س} , & \text{س} < \textup{٣} \\ \text{س} - \textup{٣} , & \text{س} \ge \textup{٣} \end{cases}$ ، وكان $\text{ل}(\text{س}) = (\text{ق} \times \text{هـ})(\text{س})$ ، فابحث في اتصال الاقتران $\text{ل}$ عندما $\text{س} = \textup{٣}$ . (١٢ علامة)

إذا كان معدل التغير في الاقتران $\text{ق}$ في الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ يساوي ٨ ، وكان $\text{هـ}(\text{س}) = \textup{٢}\text{ق}(\text{س}) - \text{س}^{\textup{٢}}$ ، فجد معدل التغير في الاقتران $\text{هـ}$ في الفترة $[\textup{١} \text{،} \textup{٣}]$ . (١٠ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٣} - \textup{٥}\text{س}$ ، فجد $\text{ق}'(\textup{٢})$ باستخدام تعريف المشتقة. (١٢ علامة)

جد $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل مما يأتي:

١) $\text{ص} = \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} - \text{ظا}(\textup{٢}\text{س} + \textup{٣})$ (٦ علامات)

جد $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ لكل مما يأتي:

٢) $\text{ص} = \textup{٣}\text{ع}^{\textup{٢}} - \textup{٢}\text{ع} + \textup{١}$ ، $\text{ع} = \text{س}^{\textup{٤}} + \textup{١}$ ، عندما $\text{س} = \textup{١}$ (٦ علامات)

يتحرك جُسيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) = (\textup{٢}\text{ن}^{\textup{٢}} + \textup{١})^{\textup{٢}} + \textup{٥}$ ، حيث $\text{ف}$: المسافة التي يقطعها الجُسيم بالأمتار، $\text{ن}$: الزمن بالثواني، فجد سرعة الجُسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة. (٨ علامات)

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}}(\textup{٣} - \text{س})$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ فجد كلًّا مما يأتي:

١) فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران $\text{ق}$.

٢) القيم القصوى المحلية (إن وُجدت) للاقتران $\text{ق}$ مبيّنًا نوعها. (١٢ علامة)

إذا كان اقتران الإيراد الكلي لأحد المبيعات هو $\text{د}(\text{س}) = \textup{٥٥}\text{س} + \text{س}^{\textup{٢}}$ دينار، واقتران التكلفة الكلية $\text{ك}(\text{س}) = \textup{١٥}\text{س} + \textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١٠٠}$ دينار ، حيث $\text{س}$ عدد الوحدات المبيعة، فجد قيمة $\text{س}$ التي تجعل الربح أكبر ما يُمكن. (٨ علامات)